6. Повторение испытаний

6.1. Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называютнезависимыми относительно события .

В разных независимых испытаниях событие может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Мы будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событиеимеет одну и ту же вероятность.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событиеможет появиться либо не появиться. Будем считать, что вероятность событияв каждом испытании одна и та же, а именно равно. Следовательно, вероятность не наступления событияв каждом испытании также постоянна и равна.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при испытаниях событиеосуществиться ровнораз и, следовательно, не осуществитьсяраз.

Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие повторялось ровнораз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении событиятри раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события:

.

Искомую вероятность обозначим . Например, символозначает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появилось 3 раза и, следовательно, не наступило 2 раза.

Поставленную задачу решает так называемая формула Бернулли.

Определение 6.1(формула Бернулли).

Пусть производится nнезависимых испытаний. Вероятность появления событияAв каждом испытании равнаp. Тогда вероятность появления событияAприnиспытаниях ровноkраз находится по формуле:

. (6.1)

Пример 6.1.Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение.Вероятность нормального расхода электроэнергии на протяжении каждых из 6 суток постоянна и равна. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

.

Пример 6.2.ГПС (гибкая производственная система) состоит из четырех ТМ (технологических модулей). Вероятность выхода из строя за времяодного модуля. Требуется определить:

1. какова вероятность того, что в течение времени из строя выйдет не менее трех модулей;

2. какова вероятность того, что в течение времени из строя выйдет хотя бы один модуль.

Решение.1) По условию. Значит, вероятность того, что модуль не выйдет из строя. Пустьсобытие, заключающееся в том, что в течение временииз строя выйдет не менее трех модулей, т.е. либо три, либо четыре модуля. Тогда

.

2) Пусть событие, заключающееся в том, что в течение временииз строя выйдет хотя бы один модуль. Пустьсобытие, заключающееся в том, что в течение временине выйдет из строя ни один модуль. Тогда

.



Иногда при проектировании станков, технологических систем и т.д. заранее задается их вероятность безотказной работы. В этом случае ставиться задача по определению вероятность безотказной работы каждого в отдельности элемента, если известно, что эти вероятности равны.

Пример 6.3.Станок состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы станка должна быть не менее 0,995. Какова должна быть вероятность безотказной работы каждого узла в отдельности, если их вероятности равны?

Решение.Пустьвероятность безотказной работы одного узла,вероятность отказа одного узла. По условию вероятность безотказной работы станка не менее 0,995, т.е..

.

Тогда

.

Можно сделать следующий вывод: вероятность безотказной работы каждого узла станка в отдельности не должна быть менее . При этом вероятность отказа одного узла будет.