6.3. Формула Пуассона

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событияравна. Для определения вероятностипоявлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если жевелико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако, эта формула непригодна, если вероятность события мала. В этих случаях, когдавелико, амало, прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим своей задачей найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно раз.

Сделаем важное допущение: произведениесохраняет постоянное значение, а именно. Как будет следовать из дальнейшего, это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях, остается неизменным.

Теорема 6.3 (формула Пуассона).

Пусть вероятность события при каждом изнезависимых испытаний равна, где. Тогда

. (6.4)

Пример 6.5.Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредиться, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудет более трех поврежденных изделий.

Решение.По условиюn=5000,p=0,0002. Найдем:

=np=50000,0002=1.

Пусть A– событие, состоящее в том, что на базу прибудет более трех поврежденных изделий. Тогда- противоположное событиюAзаключается в том, что на базу прибудет менее или равное трем количество поврежденных изделий, т.е.. А значит, вероятность событияAнаходится следующим образом



6.4. Поток событий

Определение 6.2. Потоком событийназывают последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примерами потоков могут служить: поступление вызовов на АТС, на пункт скорой помощи, прибытие самолетов в аэропорт, последовательность отказов элементов и многое другое.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойства потока событий

1) Свойство стационарностихарактеризуется тем, что вероятность появлениясобытий на любом промежутке времени зависит только от числаи от длительностипромежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися.

Итак, если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления событий за промежуток времени длительности есть функция, зависящая только от и .

2) Свойство «отсутствие последействия»характеризуется тем, что вероятность появлениясобытий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в момент времени, предшествующий началу рассматриваемого промежутка.

Итак, если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

3) Свойство ординарностихарактеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Итак, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Определение 6.3. Простейшим (пуассоновским)называется поток событий, который обладает свойством стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Определение 6.4. Интенсивностью потока называют среднее число событий, которое появляется в единицу времени.

Определение 6.5.Вероятность появлениясобытий простейшего потока с постоянной интенсивностьюза время длительностиопределяется формулой Пуассона:

. (6.5)

Эта формула отражает все свойства простейшего потока.

Пример 6.6.При работе прибора поток неисправностей можно считать простейшим. Среднее число неисправностей за сутки равно 2. Найти вероятность того, что за двое суток возникнет более двух неисправностей.

Решение.Пустьсобытие, заключающееся в том, что за две суток возникнет более двух неисправностей. Тогдасобытие, заключающееся в том, что за двое суток возникнет число неисправностей менее или равное двум.

По условию задачи: ,,. Тогда

.

