2.3. Алгебра событий

Теория вероятностей, так же как и другие разделы математики, имеет дело не с явлениями окружающего мира непосредственно, а с их математическими моделями. Построение математической моделивероятностного эксперимента происходит в следующей последовательности:

1) составляется пространство элементарных событий вероятностного эксперимента;

2) выделяется класс событий F, достаточных для описания закономерностей изучаемого явления;

3) определяется степень возможности появления событий из класса F, т.е. вводитсявероятностная мерадля наступления событий. Эту меру событияAизFназываютвероятностьюпоявления событияAи обозначаютP(A). Саму модель тогда обозначают (,F,P).

Определение 2.11.КлассFкак множество всех подмножеств изназываюталгеброй событий, если выполняются следующие аксиомы:

(1) F;

(2) ;

(3) .

Пример 2.6.Пусть- полная группа элементарных событий при подбрасывании монеты один раз. Тогда

.

Так как , то.



Определение 2.12.Пусть- пространство элементарных событий для заданного вероятностного эксперимента,Fалгебра событий, выделенная в. Действительная функцияP, ставящая каждому событиюAв соответствие числоP(A), называетсявероятностной мерой наF, если выполняются следующие аксиомы (А.Н. Колмогорова, 1933):

А1. ;

А2. Если A=, тоP()=1;

А3. Для любой последовательности попарно несовместных событий A₁,A₂, …,A_n,…, гдевыполняется соотношение

.

Иначе P(A) называютвероятностьюсобытияA.

3. Классическая и геометрическая

ВЕРОЯТНОСТИ

3.1. Классическая вероятность

Рассмотрим пространство , связанное с каким-либо опытом, состоящим из конечного числаnэлементарных событий. Дополнительно будем предполагать, что все элементарные событияравновозможныеесть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие. Как правило, равновозможность является следствием симметрии предметов, участвующих в эксперименте. Примеры опытов с равновозможными исходами: вытаскивание карты из колоды; выбор товара при покупке; заполнение карточки спортлото и др. Равновозможные элементарные события, образующие пространство, называютисходами(случаями, шансами) данного опыта.

Определение 3.1(классическое определение вероятности).

Пусть задан вероятностный эксперимент с конечным числом элементов в , в котором элементарные события_iравновероятны, т.е.. Тогда вероятность событияP(A) – есть отношение числа элементарных событий, благоприятствующих дляA, к общему числу элементарных событий в:

. (3.1)

Пример 3.1.На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает в среднем 83% деталей высшего качества, второй – 76%, третий – 81%. С первого автомата поступило 400 деталей, со второго – 350, с третьего – 420. Найти вероятность попадания на сборку детали высшего качества.

Решение.Пустьсобытие, заключающееся в том, что на сборку попала деталь высшего качества.

Число всех возможных исходов есть общее количество поступивших на сборку деталей

.

Число исходов, благоприятствующих событию - это общее количество деталей высшего качества

.

Тогда по формуле (3.1) получаем

.



Пример 3.2.В лифт 9-этажного дома входят 4 человека. Какова вероятность того, что они выйдут на разных этажах?

Решение.ПустьA– событие, заключающееся в том, что четыре человека выйдут на разных этажах. Так как каждый пассажир лифта может выйти на любом из этажей, то число всех возможностей равно, что соответствует всему числу испытаний.

Теперь подсчитаем число благоприятных исходов испытаний. У первого пассажира лифта есть 8 возможностей выйти (на этажах 2-9), тогда у второго остается 7 возможностей, у третьего – 6 и у четвертого – 5. Значит, .

Поэтому .



Пример 3.3.На шести карточках написаны буквыК, Л, О, О, П, Ц. Карточки перемешивают и наугад раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится словоПОЛОЦК? Какова вероятность того, что получится словоПОЛК?

Решение.ПустьA– событие, заключающееся в том, что получится словоПОЛОЦК. Из шести различных элементов можно составитьP₆=6!=720 перестановок. Значит, всего равновозможных исходов будетn=720. Корточки с буквами, отличными от буквыО, могут стоять на определенных местах. Две буквыОможно расположить на двух местах 2!=2 способами. Поэтому число благоприятных данному событию будетm=2. Следовательно,.

Пусть B– событие, заключающееся в том, что получится словоПОЛК. Число всех исходов испытания равно числу размещений из шести элементов по четыре, а число благоприятных данному событию равно числу перестановок буквыО. Таким образом,

.



Пример 3.4.В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей, ровно 4 стандартных.

Решение. ПустьA– событие, заключающееся в том, что среди шести взятых наудачу деталей, ровно 4 стандартных. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6,.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию A. 4 стандартные детали можно взять из 7 стандартных деталейспособами; при этом остальные 64=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 107=3 нестандартных деталей можноспособами. Следовательно, число благоприятных исходов равно.

Поэтому .