2. События. Алгебра событий

Развитие теории вероятностей с момента зарождения как науки и до настоящего времени было несколько своеобразным. На первом этапе истории возникновения теория вероятностей рассматривалась как занимательный «пустячок», как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты. Основателями теории вероятностей, пожалуй, следует считать французских математиков Б. Паскаля (1623 – 1662) и П. Ферма (1601 – 1695) и голландского ученого Х. Гюйгенса (1629 – 1695), которые в переписке между собой и в ответах на запросы азартных игроков ввели основные понятия этой теории – вероятность события и математическое ожидание.

Важный этап теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Якоба Бернулли (1654 – 1705). Им было дано доказательство частного случая закона больших чисел, так называемой теоремы Бернулли. С этого момента теория вероятностей оформляется как математическая наука. Крупнейшими представителями этой науки в конце XVIIIи в первой половинеXIXв. были математики П. Лаплас (1749 – 1827), К. Гаусс (1777 – 1855) и С. Пуассон (1781 – 1840). Особенно быстро теория вероятностей развивалась во второй половинеXIXиXXв. Здесь фундаментальные открытия были сделаны математиками Петербургской школой П.Л. Чебышевым (1821 – 1894), А.М. Ляпуновым (1857 – 1918) и А.А. Марковым (1856 – 1922). Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло вXXв. и связано в первую очередь с именами таких математиков, как С.Н. Бернштейн и А.Н. Колмогоров.

До возникновения теории вероятностей объектом исследования науки были явления и опыты, в которых условия практически однозначно определяют исход. Так, например, если на материальную точку действует сила тяжести и в некоторый момент заданы положение и скорость материальной точки, то ее дальнейшее движение определяется соответствующим дифференциальным уравнением однозначно. Однако эта механическая модель не всегда удовлетворительно описывает реальные физические явления. Но оказывается, что для широкого круга явлений наблюдается неоднозначность исхода при сохранении основных условий опыта. При подбрасывании монеты мы не можем предсказать исход: упадет монета гербом вверх или нет. Результаты нескольких измерений одной и той же величины, полученных одним и тем же прибором в одних и тех же условиях, различны. Влияние очень большого числа разнообразных причин, каждая из которых в отдельности не может повлиять на результат опыта, приводит к тому, что результат опыта не определяется заранее однозначно; говорят, что результат такого опыта случаен. Примеры случайных явлений можно указать во многих областях науки и техники (например, в физике, биологии, в массовом производстве, в системе автоматического управления и т.д.).

Поэтому все опыты или эксперименты можно разделить на два вида: детерминированные и вероятностные.

Детерминированные эксперименты– это эксперименты, результаты которых можно предвидеть заранее на основании естественнонаучных законов.

Вероятностные (илистохастические, илислучайные)эксперименты– это эксперименты, результаты которых нельзя предвидеть (они случайны).

Однако если вероятностные эксперименты повторять многократно, то совокупность исходов вероятностного эксперимента подчиняется определенным законам, изучением которых и занимается теория вероятностей. Изучать указанные закономерности удобно методом моделирования, то есть строить математическую модельвероятностного эксперимента. В математической модели закономерности описывают уравнениями, функциями и т.д. Вопрос о том, насколько хорошо построена модель и хорошо ли она согласуется с практикой, изучаетсяматематической статистикой.