27

Раздел 1

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Начальные сведения из комбинаторного анализа

1.1. Элементы комбинаторики

Понятие множества является настолько общим, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы к замене слова «множество» его синонимами: совокупность, собрание элементов и т.п. Например, в интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику Георгу Кантору, «множеством называется любая совокупность объектов, называемых элементами множества». Существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет, мыслится как единое целое.

Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: , элементы множеств – строчными буквами:, … .

Утверждение «элемент принадлежит множеству» символически записывается так:; записьозначает, что элементне принадлежит множеству

Различают множества:

1) конечные (частный случай – единичное или одноэлементное множество);

2) бесконечные (например, множество натуральных чисел );

3) пустое – множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается символом .

Способы задания (описания) множеств

1) Множество определяется непосредственнымперечислением всех своих элементов, т.е. записывается в виде:. При задании множества перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурных скобках и разделяют запятыми. Перечислением можно задавать толькоконечные множества.

2) Множество определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества, которые обладают общим свойством. В этом случае используется обозначение, т.е. множество задаетсяхарактеристическим предикатом.Характеристическим предикатом можно задать какконечные, так ибесконечныемножества.

Пример 1.1.– множество натуральных чисел от 1 до 4. Множество задано перечислением всех своих элементов. Причем, например, элемента.

Данное множество можно задать следующим характеристическим предикатом.

В математике особо уделяют внимание двум видам операций, которые выполняются над самими элементами заданного конечного множества. Этими операциями являются: отбор подмножеств и упорядочивание элементов. Изучением операций данного вида занимается такой раздел математики, как комбинаторный анализ.

Рассмотрим комбинаторные принципы сложения и умножения.

1. Комбинаторный принцип сложения

Если дано конечных попарно непересекающихся множеств и каждое из которых содержит соответственно:элементов,элементов, …,элементов. Тогда общее число элементов

. (1.1)

Пример 1.2.На карточках написаны числа от 0 до 50. Студент извлекает наугад одну карточку. Сколько существует способов извлечь карточку, на которой написано число, содержащее только одну цифру 4?

Решение.При извлечении на карточке может быть написано однозначное или двузначное число. Пустьмножество однозначных чисел, содержащих одну цифру 4;множество двузначных чисел, содержащих одну цифру 4. Множествосодержит одно число, и это число 4, т.е.. Множествосодержит двузначные числа: от 10 до 19 – это число 14; от 20 до 29 – это число 24; от 30 до 39 – это число 34; а также от 40 до 49 – это девять чисел, исключая 44. Тогда.

Следовательно, всего способов извлечь карточку, на которой написано число, содержащее только одну цифру 4

.

2. Комбинаторный принцип умножения

Если дано конечных множеств и каждое из которых содержит соответственно:элементов,элементов, …,элементов. Тогда число способов выбора по одному элементу из каждого множества

. (1.2)

Пример 1.3.Пять пассажиров садятся в электропоезд, состоящий из 10 вагонов. Каждый пассажир с одинаковой вероятностью может сесть в любой из 10 вагонов. Определить число всех возможных вариантов размещения пассажиров в поезде.

Решение.Первый пассажир может выбрать любой из 10 вагонов. Поэтому имеется 10 способ у первого пассажира, чтобы сесть в электропоезд. Аналогично и для других пассажиров имеется 10 способов, чтобы сесть в электропоезд. Значит, всего возможных вариантов размещения пассажиров в поезде равно:

.



Альберт Эйнштейн как-то говорил: «Не все, что можно сосчитать, сосчитано, и не все, что сосчитано, можно сосчитать». Хотя это высказывание не очень воодушевляет, попытаемся заняться подсчетами. Прежде чем ввести понятия из комбинаторного анализа, рассмотрим пример.

Примет 1.4.Пусть есть множествоA=1; 2; 3. Сколько существует способ расставить элементы множестваAв ряд? Сколько существует способов, чтобы отобрать два любых элемента, не учитывая порядка? Сколько существует способов, чтобы отобрать два элемента, учитывая их порядок?

Решение.1) Чтобы расставить элементы множестваAв ряд, существует шесть способов: 1, 2, 3 или 1, 3, 2, или 2, 1, 3, или 2, 3, 1, или 3, 1, 2, или, 3, 2, 1.

2) Чтобы отобрать два элемента, не учитывая порядок, существует три способа:

1, 2 или 1, 3, или 2, 3.

3) Чтобы отобрать два элемента, учитывая порядок, существует шесть способов:

1, 2 или 2, 1, или 1, 3, или 3, 1, или 2, 3, или 3, 2.



Для ответов на поставленные в примере вопросы используются следующие комбинаторные понятия: перестановка, сочетаниеиразмещение. Дадим им определения.

Определение 1.1.Всякое упорядоченное (конечное) множество называетсяперестановкой, образованной из его элементов:

. (1.3)

Определение 1.2.Сочетанием изn элементов, взятых поk, называется всякая часть множества, содержащаяkэлементов:

. (1.4)

Определение 1.3.Размещением изnэлементов поkназывается всякая упорядоченная часть множества, содержащаяkэлементов:

. (1.5)

Рассмотрим на пример, как можно применять элементы комбинаторики для решения задач.

Пример 1.5.Сколькими способами можно рассадить 8 человек за круглым столом?

Решение.Для определения количества способов используем перестановки:

.



Пример 1.6.Из девяти значащих цифр составляются трехзначные числа. Сколько различных чисел может быть составлено при условии, что все цифры различные?

Решение.При составлении трехзначного числа из 9-ти цифр необходимо учитывать порядок размещения выбранных цифр. Поэтому воспользуемся размещением:

.



Пример 1.7.В группе из 20 студентов, в которой 8 девушек и 12 юношей, разыгрываются 4 билета в театр. Сколько возможных способ разыграть эти билеты так, чтобы 2 билета досталось девушкам и два билета – юношам?

Решение.При разыгрывании билетов порядок не учитывается, поэтому воспользуемся сочетанием. Число способов получения двух билетов девушками:. Число способов получения двух билетов девушками:. Тогда всего возможных способов:

.

