5. Формула полной вероятности.

ФОРМУЛА БАЙЕСА

5.1. Формула полной вероятности

Пусть событие Aможет наступить при условии появления одного из несовместных событийH₁,H₂, …,H_n, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятностиP(A/H₁), …,P(A/H_n) событияA. Как найти вероятность событияA? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которую примем без доказательства.

Теорема 5.1(формула полной вероятности).

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событийH₁,H₂, …,H_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность событияA:

. (5.1)

Пример 5.1.Штамповочный цех направил в отдел контроля своего предприятия два контейнера штамповочных деталей. Первый контейнер содержит 20000 деталей, 5% которых являются браком. Второй контейнер содержит 10000 деталей с 1% брака. Детали из обоих контейнеров были перемешаны, после чего контролер наудачу взял из общей партии одну штамповочную деталь. Какова вероятность того, что эта наудачу взятая деталь будет бракованной?

Решение.ПустьA– событие, состоящее в том, что извлеченная деталь будет бракованной.H₁– событие, состоящее в том, что деталь попала из первого контейнера,H₂– деталь попала из второго контейнера. Тогда

.

Поэтому искомая вероятность по формуле полной вероятности:

.



Пример 5.2.В первом ящике из 10 заготовок 3 имеют скрытые дефекты, во втором из 15 – 5 имеют скрытые дефекты. Из первого ящика случайно переложили во второй одну заготовку. Затем из второго ящика извлекли две заготовки. Найти вероятность того, что обе заготовки со скрытыми дефектами.

Решение.Пустьсобытие, заключающееся в том, что из второго ящика извлекли две заготовки со скрытыми дефектами, после того, как туда случайно положили заготовку из первого ящика.событие, заключающееся в том, что из первого ящика случайно переложили во второй заготовку со скрытым дефектом;событие, заключающееся в том, что из первого ящика случайно переложили во второй заготовку без дефекта. Тогда

; .

Пусть событие, заключающееся в том, что из второго ящика извлекли две заготовки со скрытыми дефектами, при условии, что из первого ящика переложили во второй заготовку со скрытыми дефектами;событие, заключающееся в том, что из второго ящика извлекли две заготовки со скрытыми дефектами, при условии, что из первого ящика переложили во второй заготовку без дефектов. Тогда

;.

Чтобы найти вероятность события , то воспользуемся формулой (5.1):

.



5.2. Формула Байеса

Пусть событие Aможет наступить при условии появления одного из несовместных событийH₁,H₂, …,H_n, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называютгипотезами. Вероятность событияAопределяется по формуле полной вероятности. Требуется найти вероятность гипотезыH_iпри условии, что событиеAуже произошло.

По формуле условной вероятности имеем:

или

.

Откуда получаем

, (5.2)

где P(A) – формула полной вероятности.

Формула (5.2) называется формулой Байеса(по имени английского математика). Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как станет известным результат испытания, в итоге которого появилось событиеA.

Если доопытные вероятности гипотез неизвестны, их полагают одинаковыми: P(H₁)=P(H₂)=…=P(H_n). В таком случае формула Байеса принимает вид

.

Пример 5.3.40% приборов собирается из высококачественных деталей, остальные – из обычных деталей. В первом случае надежность прибора (вероятность безотказной работы) за времяТравна 0,90; если прибор из обычных деталей, его надежность равна 0,60. Прибор в течение времениТработал безотказно. Чему равна вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

Решение.Возможны две гипотезы:H₁– прибор собран из высококачественных деталей;H₂– прибор собран из обычных деталей. Из условия имеем:

Здесь A– событие, состоящее в том, что прибор безотказно работал в течение времениT. Нас интересуетP(H₁/A). По формуле Байеса получаем

.



Пример 5.4.Имеется три урны. В первой находится 3 белых и 5 черных шаров, во второй – 4 белых и 3 черных, в третьей – 5 белых и 6 черных. Найти вероятность того, что, если выбранный шар оказался белого цвета, то какова вероятность того, что он был взят из второй урны?

Решение.Возможны три гипотезы:H₁– шар взят из первой урны;H₂– шар взят из второй урны;H₃– шар взят из третьей урны. Из условия имеем:

.

Событие A– событие, состоящее в том, что шар из наугад выбранной урны окажется белым.

– событие, состоящее в том, что шар, извлеченный из первой урны, окажется белым;- событие, состоящее в том, что шар, извлеченный из второй урны, окажется белым;- событие, состоящее в том, что шар, извлеченный из третьей урны, окажется белым.

; ; .

– событие, состоящее в том, что извлеченный белый шар взят из второй урны. По формуле Байеса получаем



Пример 5.5.На станкостроительный завод поступили детали с трех заводов: с первого – 30 % всех деталей, со второго – 42 % и остальные с третьего завода. Детали с первого завода содержат 1,5 % брака, со второго – 2,1 % и с третьего – 2 % брака.

1) Какова вероятность того, что наугад взятая деталь будет качественной?

2) Наугад взятая деталь оказалась качественной. С какого завода вероятнее всего эта деталь?

Решение.1) Пустьсобытие, заключающееся в том, что наугад взятая деталь будет качественной.событие, заключающееся в том, что деталь изготовлена на первом заводе;событие, заключающееся в том, что деталь изготовлена на втором заводе;событие, заключающееся в том, что деталь изготовлена на третьем заводе. Тогда

; ;

Пусть событие, заключающееся в том, что деталь, изготовленная на первом заводе оказалась качественной;событие, заключающееся в том, что деталь, изготовленная на втором заводе оказалась качественной;событие, заключающееся в том, что деталь, изготовленная на третьем заводе оказалась качественной. Тогда

;;

.

По формуле (5.1) получаем

.

2) Пусть событие, заключающееся в том, что наугад взятая качественная деталь изготовлена на первом заводе;событие, заключающееся в том, что наугад взятая качественная деталь изготовлена на втором заводе;событие, заключающееся в том, что наугад взятая качественная деталь изготовлена на третьем заводе. Тогда по формуле (5.2) получаем:

;;

.

Так как больше чеми, то можно сделать следующий вывод:наугад взятая качественная деталь изготовлена вероятнее всего на втором заводе.

