3.2. Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности нельзя применять к опыту с бесконечным числом равновероятных исходов. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящей в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Определение 3.2(геометрическое определение вероятности).

Пусть - ограниченное множествоn-мерного евклидова пространства. Элементарные события трактуем как точки,n=1, 2, 3, …, события трактуем как подпространства из. ДляAFимеем по определению

, (3.2)

где означает длину для, площадь для, объем для.

Пример 3.5.В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб.

Решение.Пусть кубвписан в шар с радиусом. Сторона куба. На рисунке изображено диагональное сечение куба.диагональ основания (квадрата).

.

.

Тогда

,.

Следовательно,

.

Пример 3.6(задача о встрече). Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Решение. Пустьx– момент прихода 1-го студента в течение часа,y– момент прихода 2-го студента в течение часа, где 0x1, 0y1. Тогда время прихода двух студентов можно рассматривать как точки пространства. Всего исходов испытания – это множество точек расположенных в квадратеOABC. Поэтому()=S_OABC=1.

Поэтому .



Из определения вероятности вытекают следующее соотношение, которое сформулируем в виде теоремы (без доказательства).

Теорема 3.1.Вероятность любого событияудовлетворяет неравенству

.

3.3. Относительная частота

Относительная частота, наряду с вероятностью, принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Определение 3.3.Относительной частотойсобытия называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний, т.е.

, (3.3)

где m–число появлений события,n– общее число испытаний.

Пример 3.7.По цели производится 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели

.



Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Поэтому вероятность события является априорной (доопытной) характеристикой, а относительная частота – этоапостериорная (послеопытная) характеристика.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний),колеблясь около некоторого постоянного числа.Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Как уже отмечалось выше, классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания – конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых – бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Правда, указанный недостаток может быть преодолен путем соответствующего обобщения определения вероятности.

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображения симметрии.