Задача № 2а
В урне имеется белых, красных и синих шаров. В урну добавлен один шар, все предположения о цвете которого равновозможны. Из урны берут один шар. Какова вероятность, что этот шар будет синего цвета.
Решение задачи
Введем всевозможные предположения –
гипотезы о цвете добавленного шара.
Пусть гипотеза
заключается в том, что добавленный шар
– белого цвета, а гипотеза
заключается в том, что добавленный шар
– красного цвета и гипотеза
заключается в том, что добавленный шар
– синего цвета. Найдем вероятность этих
гипотез: согласно условию задачи все
предположения о цвете добавленных шаров
равновозможны, то есть
.
Учитывая, что:
,
то
.
Найдем условные вероятности события А (вынуть из урны синий шар) для каждой из гипотез.
В случае гипотезы
общее число шаров в урне равно
шар. Так как добавлен белый шар, то число
синих шаров осталось прежним и равно:
.
Поэтому условная вероятность вынуть
только синий шар для гипотезы
равна:
;
В случае гипотезы
общее число шаров также равно
,
и так как добавлен красный шар, то число
синих шаров равно
.
Отсюда условная вероятность вынуть
синий шар в случае гипотезы
будет равна:
В случае гипотезы
общее число шаров равно
,
и так как добавлен синий шар, то число
синих шаров равно
синих шаров. Тогда условная вероятность
вынуть синий шар в случае гипотезы
будет равна:
.
Вероятность вытянуть из урны синий шар (событие А) найдем как полную вероятность появления события А по формуле полной вероятности:
.
Ответ:
.
Задача №2 б
В урне имеется белых, красных и синих шаров. Из урны взят один шар. Какова вероятность того, что следующий взятый шар будет синего цвета?
Решение задачи
Введем всевозможные предположения – гипотезы о цвете взятого из урны шара. Пусть гипотеза заключается в том, что взятый шар имеет белый цвет, а гипотеза заключается в том, что взятый шар имеет красный цвет и гипотеза заключается в том, что взятый шар имеет синий цвет. Найдем вероятность этих гипотез.
Для гипотезы
общее число шаров равно
шар. Так как взятый шар белого цвета, то
вероятность взять белый шар это и есть
вероятность гипотезы
,
то есть:
;
Для гипотезы общее число шаров в урне равно , и взятый шар красного цвета. Соответственно вероятность взять красный шар это и есть вероятность гипотезы :
Для гипотезы общее число шаров также , а взятый шар синего цвета. Тогда вероятность вынуть синий шар это и будет вероятность гипотезы :
.
Найдем условные вероятности события А (вынуть из урны синий шар) для каждой из гипотез.
В случае гипотезы
общее число шаров, оставшихся в урне,
равно
.
Число синих шаров, так как вынут белый
шар, осталось прежним, то есть
.
Тогда условная вероятность вынуть синий
шар для гипотезы
равна:
;
В случае гипотезы
общее число шаров в урне
,
и так как из урны взят красный шар, то
число синих шаров равно
.
Поэтому условная вероятность вынуть
синий шар в случае гипотезы
будет равна:
В случае гипотезы общее число шаров также равно , и так как взят синий шар, то условная вероятность вынуть синий шар в случае гипотезы будет равна:
.
Вероятность вытянуть из урны синий шар (событие А) найдем как полную вероятность появления события А по формуле полной вероятности:
Ответ:
.