Задача № 7
Найти выборочное уравнение регрессии Y на X, по данным, приведенным в таблице, для линейной, параболической и гиперболической моделей. По критерию Фишера-Снедекора определить наиболее оптимальную модель.
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
12,1 |
12,9 |
13,7 |
13,9 |
14,5 |
15,1 |
15,7 |
16,1 |
16,6 |
17,1 |
Исследуемые модели и системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов для них могут быть записаны в следующем виде:
Линейная -
Параболическая -
Гиперболическая -
В любой из систем (1)-(3) у – результативный показатель; х – фактор; n – количество наблюдений; a, b, c – параметры моделей.
Отсчет переменных х начинают от 1. Составим вспомогательную расчетную таблицу 1 и на ее основе сформируем системы нормальных уравнений МНК:
Таблица 1. Вспомогательные расчеты для формирования систем Гаусса
х |
у |
х2 |
х3 |
х4 |
ух |
у х2 |
1/х |
1/ х2 |
у/х |
1 |
12,1 |
1 |
1 |
1 |
12,1 |
12,1 |
1 |
1 |
12,1 |
2 |
12,9 |
4 |
8 |
16 |
25,8 |
51,6 |
0,5 |
0,25 |
6,45 |
3 |
13,7 |
9 |
27 |
81 |
41,1 |
123,3 |
0,333 |
0,111 |
4,5667 |
4 |
13,9 |
16 |
64 |
256 |
55,6 |
222,4 |
0,25 |
0,0625 |
3,475 |
5 |
14,5 |
25 |
125 |
625 |
72,5 |
362,5 |
0,2 |
0,04 |
2,9 |
6 |
15,1 |
36 |
216 |
1296 |
90,6 |
543,6 |
0,167 |
0,0278 |
2,5167 |
7 |
15,7 |
49 |
343 |
2401 |
109,9 |
769,3 |
0,1428 |
0,0204 |
2,2429 |
8 |
16,1 |
64 |
512 |
4096 |
128,8 |
1030,4 |
0,125 |
0,0156 |
2,0125 |
9 |
16,6 |
81 |
729 |
6561 |
149,4 |
1344,6 |
0,111 |
0,0123 |
1,844 |
10 |
17,1 |
100 |
1000 |
10000 |
171 |
1710 |
0,1 |
0,01 |
1,71 |
55 |
147,7 |
385 |
3025 |
25333 |
856,8 |
6169,8 |
2,9288 |
1,5496 |
39,8178 |
В последней строке таблицы 1 указаны суммы всех значений для каждого столбца.
Составим системы для трех функций и найдем соответствующие уравнения.
Для определения параметров уравнения линейной функции запишем систему уравнений (1) и найдем ее решение:
Таким образом,
- линейная модель.
Для определения параметров уравнения
параболической функции
запишем систему уравнений (2) и найдем
ее решение с помощью метода Гаусса:
Таким образом,
- параболическая модель.
Для определения параметров уравнения гиперболической функции запишем систему уравнений (3) и найдем ее решение
Таким образом,
- гиперболическая модель.
2) Рассчитаем выборочную дисперсию
для линейной, параболической и
гиперболической моделей. Для этого
составим вспомогательные таблицы 2,3 и
4.