3.4.2. Формула Тейлора

Теорема 3.12 (Тейлора). Пусть функция имеет конечную производную -го порядка в некоторой окрестности точки Тогда для любого из этой окрестности найдется такая точка , расположенная между точками и , что функция разлагается и притом единственным образом по степеням двучлена включительно по формуле:

(3.22)

где − коэффициенты Тейлора, определяемые соотношениями

(3.23)

.

− многочлен Тейлора,

− остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Формулу (3.22 ) называют формулой Тейлора -го порядка. Она выражает функцию в виде суммы многочлена Тейлора п-ой степени по степеням и остаточного члена. В развернутой записи формула Тейлора -го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

,

или .

Известно много представлений остаточного члена [Курант, Фихтенгольц]. Ограничимся описанием лишь двух из них. Одна форма − форма Лагранжа − приведена выше. Если промежуточную точку записать в виде где число , то остаточный член в форме Лагранжа примет вид:

Если остаточный член записать в виде , то такую форму называют формой Пеано. При этом формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано запишется так:

.

Здесь − бесконечно малая при функция более высокого порядка малости, чем :

Абсолютная величина остаточного члена равна абсолютной погрешности при вычислении приближенного значения по формуле где − многочлен Тейлора -й степени. Если функция сама является многочленом -й степени то приближенное равенство следует заменить на точное: , так как в этом случае остаточный член в форме Лагранжа

Если , то формулу (3.22) называют формулой Маклорена п-й степени.

Формула Тейлора используется:

1. при переразложении многочлена, т.е. при преобразовании многочлена по степеням в многочлен по степеням

2. при приближенных выражениях элементарных функций с помощью многочленов;

3. для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов;

4. в геометрии для изучения поведения графика функции в окрестности некоторой точки.

Пример 3.21. Переразложить многочлен по степеням

□ Воспользуемся формулой 3.22. В соответствии с условиями задачи примем Разложение имеет вид Сначала найдем все производные данного многочлена до 4-го порядка включительно и вычислим их значения в точке .

,	;
,	;
,	;
,	;
,	.

По формуле (3.23) найдем коэффициенты Тейлора:

Производная , поэтому С учетом вычислений получим разложение: для любого

Заметим, что данный пример можно решить заменой в многочлене выражением . Этот путь требует больших усилий и поэтому не рассматривается.■

Пример 3.22. Разложить функцию по степеням включительно.

□ Здесь Разложение по формуле Маклорена 3-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

и применимо на всей числовой оси.

Найдем все производные данной функции до 4-го порядка включительно:

Далее:

Искомое разложение называется формулой Маклорена 3-го порядка для функции . ■