Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ДИФОП для пересылки.doc
Скачиваний:
18
Добавлен:
22.11.2019
Размер:
4.59 Mб
Скачать

3.5.3. Правило Лопиталя-Бернулли

Теорема 3.13 (правило Лопиталя-Бернулли). Если выполняются следующие условия:

1) функции и определены и дифференцируемы в проколотой окрестности точки ;

2) ;

3) в рассматриваемой окрестности;

4) существует предел ,

то

(3.35)

З а м е ч а н и е 1. Это правило применимо для раскрытия неопределенностей вида :

● в конечной точке при ,

● на бесконечности при ;

● при вычислении односторонних пределов (при и .

З а м е ч а н и е 2. Аналогичное правило применимо для раскрытия неопределенностей вида , при этом в условиях теоремы 3.13 нужно изменить только второе условие и потребовать, чтобы Все пункты замечания 1 и в этом случае верны.

Теорему 3.13 для раскрытия неопределенности часто называют первым правилом Лопиталя, а аналогичную теорему для неопределенности вида вторым правилом Лопиталя.

Пример 3.30. Найти пределы: а) ; б) ; в) .

□ В каждом примере при подстановке предельного значения аргумента получается неопределенное выражение, которое раскрывается путем однократного или многократного непосредственного применения правила Лопиталя.

а) .

б)

.

в) .■

Пример 3.31. Найти

□ При числитель и знаменатель дроби неограниченно растут. Вычисление предела связано с раскрытием неопределенности вида . Однако воспользоваться правилом Лопиталя нельзя, так как не существует предела отношения производных: = . Как известно, функция на бесконечности не имеет предела и вместе с ней нет предела у функции

Предел можно найти другим способом: , так как предел второго слагаемого как предел произведения ограниченной функции ( ) и бесконечно малой при функции равен нулю, а предел всей суммы − единице. ■

Для раскрытия неопределенностей вида правила Лопиталя применяют непосредственно. Для раскрытия неопределенностей вида , правила Лопиталя применяют опосредованно:

1) в случае неопределенности вида произведение функций преобразуют в частное одним из двух способов: ;

2) в случае неопределенности вида разность функций преобразуют в

частное, используя свойства функций или следующий общий прием:

при , или , причем

● если предел существует и отличен от единицы: , то ;

● если предел , то и далее непосредственно применяют правило Лопиталя-Бернулли;

3) в случае неопределенностей вида используют основное свойство логарифма и неопределенность в показателе степени раскрывают при помощи вышеописанных приемов.

Пример 3.32. Найти .

□ Выясним, есть ли неопределенность при вычислении предела: . Как видим, мы имеем дело с 1-ым случаем опосредованного применения правила Лопиталя. Преобразовываем произведение в частное и применяем 1-ое правило Лопиталя:

Найдем .

Тогда .

Пример 3.33. Найти .

□ Здесь неопределенность вида . Используем общий прием преобразования разности в частное: .

Найдем .

Тогда .

Заметим, что другой способ преобразования разности в произведение, а именно, вынесение вместо вперед в качестве множителя приведет к тому же результату. ■

Пример 3.34. Найти