- •3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 133
- •3.1. Производная и дифференциал функции одной переменной. Основные понятия 133
- •3.3.3. Параметрическое дифференцирование 156
- •3.6. Исследование функции 176
- •3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •3.1. Дифференцирование функции одной переменной
- •3.1.1. Определения и условия существования производной и дифференциала
- •3.1.2. Смысл производной и дифференциала
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.2. Основные приемы дифференцирования
- •3.2.1. Табличное дифференцирование
- •3.2.2. Общие правила дифференцирования
- •3.2.3.Дифференцирование сложной и неявной функции. Инвариантное свойство дифференциала
- •3.2.4. Дифференцирование обратной функции
- •3.2.5. Логарифмическое дифференцирование. Темп роста и эластичность функции
- •3.2.6. Параметрическое дифференцирование
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Найдите производные функций, используя логарифмическую производную:
- •3.3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •3.3.1. Дифференцирование явной функции
- •3.3.2. Производные высших порядков некоторых элементарных функций. Формула Лейбница
- •3.3.3. Параметрическое дифференцирование
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •3.4.1. Теоремы о среднем
- •3.4.2. Формула Тейлора
- •3.4.3. Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.Запишите многочлен в виде многочлена по степеням
- •3.5. Приложения дифференциального исчисления
- •3.5.1 Приближенные вычисления значений функции
- •Использование формулы Тейлора
- •3.5.2. Составление уравнений касательной и нормали к кривой
- •3.5.3. Правило Лопиталя-Бернулли
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Исследование функции одной переменной
- •3.6.1. Промежутки монотонности. Достаточные условия монотонности функции на промежутке
- •3.6.2. Промежутки выпуклости вверх и вниз и точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •3.6.4. Общая схема исследования функции и построения графика
- •3.6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Задачи для самостоятельного решения
3.5.3. Правило Лопиталя-Бернулли
Теорема 3.13 (правило Лопиталя-Бернулли). Если выполняются следующие условия:
1) функции и определены и дифференцируемы в проколотой окрестности точки ;
2) ;
3) в рассматриваемой окрестности;
4) существует предел ,
то
(3.35)
З а м е ч а н и е 1. Это правило применимо для раскрытия неопределенностей вида :
● в конечной точке при ,
● на бесконечности при ;
● при вычислении односторонних пределов (при и .
З а м е ч а н и е 2. Аналогичное правило применимо для раскрытия неопределенностей вида , при этом в условиях теоремы 3.13 нужно изменить только второе условие и потребовать, чтобы Все пункты замечания 1 и в этом случае верны.
Теорему 3.13 для раскрытия неопределенности часто называют первым правилом Лопиталя, а аналогичную теорему для неопределенности вида − вторым правилом Лопиталя.
Пример 3.30. Найти пределы: а) ; б) ; в) .
□ В каждом примере при подстановке предельного значения аргумента получается неопределенное выражение, которое раскрывается путем однократного или многократного непосредственного применения правила Лопиталя.
а) .
б)
.
в) .■
Пример 3.31. Найти
□ При числитель и знаменатель дроби неограниченно растут. Вычисление предела связано с раскрытием неопределенности вида . Однако воспользоваться правилом Лопиталя нельзя, так как не существует предела отношения производных: = . Как известно, функция на бесконечности не имеет предела и вместе с ней нет предела у функции
Предел можно найти другим способом: , так как предел второго слагаемого как предел произведения ограниченной функции ( ) и бесконечно малой при функции равен нулю, а предел всей суммы − единице. ■
Для раскрытия неопределенностей вида правила Лопиталя применяют непосредственно. Для раскрытия неопределенностей вида , правила Лопиталя применяют опосредованно:
1) в случае неопределенности вида произведение функций преобразуют в частное одним из двух способов: ;
2) в случае неопределенности вида разность функций преобразуют в
частное, используя свойства функций или следующий общий прием:
при , или , причем
● если предел существует и отличен от единицы: , то ;
● если предел , то и далее непосредственно применяют правило Лопиталя-Бернулли;
3) в случае неопределенностей вида используют основное свойство логарифма и неопределенность в показателе степени раскрывают при помощи вышеописанных приемов.
Пример 3.32. Найти .
□ Выясним, есть ли неопределенность при вычислении предела: . Как видим, мы имеем дело с 1-ым случаем опосредованного применения правила Лопиталя. Преобразовываем произведение в частное и применяем 1-ое правило Лопиталя: ■
Найдем .
Тогда .
Пример 3.33. Найти .
□ Здесь неопределенность вида . Используем общий прием преобразования разности в частное: .
Найдем .
Тогда .
Заметим, что другой способ преобразования разности в произведение, а именно, вынесение вместо вперед в качестве множителя приведет к тому же результату. ■
Пример 3.34. Найти
□ ■