3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 133

3.1. Производная и дифференциал функции одной переменной. Основные понятия 133

3.1.1. Определения и условия существования производной и дифференциала ………133

3.1.2. Смысл производной и дифференциала 137

3.2. Основные приемы дифференцирования 142

3.2.1. Табличное дифференцирование........................................................ 142

3.2.2. Общие правила дифференцирования 143

3.2.3. Дифференцирование сложной и неявной функции. Инвариантное

свойство дифференциала……… …. 144

3.2.4. Дифференцирование обратной функции 146

3.2.5. Логарифмическое дифференцирование. Темп роста и эластичность функции 146

3.2.6. Параметрическое дифференцирование ..................................... 148

3.3. Производные и дифференциалы высших порядков…………………………… 152

3.3.1. Дифференцирование явной функции …………………………………… .152

3.3.2 Производные высших порядков некоторых элементарных функций. Формула

Лейбница ……………………………………155

3.3.3. Параметрическое дифференцирование 156

3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления 159

3.4.1. Теоремы о среднем (Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа) 159

3.4.2. Формула Тейлора 160

3.4.3. Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций 163

3.5. Приложения дифференциального исчисления 165

3.5.1 Приближенное вычисление значений функции 165

3.5.2. Составление уравнений касательной и нормали к кривой …………………167

3.5.3. Правило Лопиталя-Бернулли 171

3.6. Исследование функции 176

3.6.1. Промежутки монотонности и точки экстремума…….. 176

3.6.2. Промежутки выпуклости и точки перегиба 180

3.6.3. Асимптоты графика функции 183

3.6.4. Общая схема исследования функции и построения графика 185

3.6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции …… ……………………… 190

3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

3.1. Дифференцирование функции одной переменной

3.1.1. Определения и условия существования производной и дифференциала

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки . Дадим аргументу такое приращение , что точка также принадлежит рассматриваемой окрестности. Соответствующее приращение функции равно: , или . Приращение функции зависит и от , и от приращения аргумента , что иногда подчеркивают записью .

Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

. (3.1)

Для обозначения производной используют и другие символы: Производная может быть как конечной, так и бесконечной величиной. Если предел (3.1) не существует, то и производная не существует.

Операцию вычисления производной функции называют дифференцированием функции.

Односторонние производные функции в точке соответственно равны:

где и − правосторонняя (правая) и левосторонняя (левая) производная в точке . При записи правосторонней и левосторонней производной используют и такие обозначения: и . В граничных точках отрезков можно определить только односторонние производные.

Если функция определена на некотором промежутке и ее производная существует при каждом значении , то формула определяет производную как функцию аргумента при .

Теорема 3.1 (критерий существования производной в точке). Чтобы функция имела производную в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовали равные односторонние производные и . При этом имеет место равенство:

Теорема 3.2 (необходимое условие существования конечной производной функции в точке). Если функция имеет конечную производную в некоторой точке, то функция непрерывна в этой точке:

Следствие теоремы 3.2. Если функция разрывна в точке , то она не имеет конечной производной в этой точке.

Пример 3.1. Найти производную , если .

• Функцию называют идентичной функцией.

Поскольку область определения этой функции , то можно определить приращение функции

Тогда согласно (3.1) . ■

Пример 3.2. Найти , если

• Область определения функции . По определению модуля

При и (см. пример 3.1).

При и приращение функции равно:

Отсюда, при Тогда

Рассмотрим данную функцию в окрестности точки Найдем односторонние производные в этой точке:

не существует согласно теореме 3.1.

Функция является примером функции, определенной и непрерывной на множестве и имеющей производную на всей оси, кроме точки ■

Пример 3.3. Найти , если

 Область определения функции − это полуось . Для можно определить приращение функции , если

точка Тогда согласно (3.1) .

Итак, . ■

Пример 3.4. Найти , если

 Область определения функции Для любого можно определить приращение функции . Для удобства последующих вычислений преобразуем его:

Используем формулу для разности кубов и получаем

.

Тогда согласно (3.1)

Значит,

Функция является примером функции определенной, непрерывной и имеющей производную на множестве . Производная функции конечна во всех точках множества , кроме Производная бесконечна при ■

Пример 3.5. Найти , если функция

□ Кусочно-заданная функция определена на всей числовой оси и является непрерывной во всех точках оси, кроме . В силу следствия из теоремы 3.2 в этой точке у функции нет конечной производной, так как точка является точкой разрыва 1-го рода: и эти три числа не равны между собой.

При производная этой функции равна нулю: .

Найдем односторонние производные в точке :

Обе односторонние производные бесконечны в точке Значит, в этой точке существует бесконечная производная ■

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представимо в виде:

(3.2)

где конечная величина, не зависящая от ; бесконечно малая величина высшего порядка малости относительно при и

Главная линейная относительно часть приращения дифференцируемой в точке функции, равная , называется дифференциалом функции и обозначается . Наряду с этим обозначением дифференциала используют и другие:

Тогда формулу (3.2) можно переписать в виде:

(3.3)

В приближенных вычислениях отбрасывают слагаемое полагая его малой величиной, и приращение заменяют дифференциалом :

(3.4)

Теорема 3.3. Чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная , при этом

, или кратко , (3.5)

где для независимой переменной

Отсюда следует, что производная является отношением дифференциалов Значит, запись является не только обозначением производной, но и формулой для ее нахождения. Заметим, что теорема верна и для граничных точек отрезка, если под производной понимать одностороннюю производную.

Операцию вычисления дифференциала функции так же, как и операцию вычисления производной, называют дифференцированием функции.

Функция называется дифференцируемой на промежутке если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Приведем комментарии к результатам, полученным в примерах 3.1−3.5.

● Функция дифференцируема по теореме 3.3 в любой точке числовой оси, поскольку её производная , т.е. производная существует и конечна при любых значениях ; при этом при любом

● Функция дифференцируема по теореме 3.3 при любых значениях , кроме . При этом . При недифференцируемая функция, так как в этой точке производная не существует.

● Функция дифференцируема по теореме 3.3 при любом положительном

значении и .

● Функция дифференцируема по теореме 3.3 при любых значениях , кроме . При этом при При − недифференцируемая функция, так как в этой точке производная обращается в бесконечность.

● Функция дифференцируема по теореме 3.3 при , при этом Функция не дифференцируема в точке , так как в этой точке не существует конечная производная.