Использование формулы Тейлора
При помощи формулы Тейлора
-го
порядка (3.24) вычисление приближенного
значения функции
сводится к вычислению значения многочлена
Тейлора
-й
степени в точке
,
при этом абсолютная погрешность
С увеличением порядка формулы Тейлора
погрешность
уменьшается.
Если использовать обозначение
то формула для вычисления приближенного
значения примет вид:
(3.28)
где абсолютная погрешность
Пример 3.24. Вычислить приближенное
значение
,
используя: 1) первый дифференциал; 2)
формулу конечных приращений; 3) формулу
Тейлора 2-го порядка и сопоставить
результаты.
□ Введем функцию
Эта функция определена, непрерывна и
дифференцируема произвольное число
раз при
1) При применении формулы (3.26) положим
Производная
Тогда
По формуле (3.26) получим;
2) Применяя формулу (3.27), имеем
При этом абсолютная погрешность
удовлетворяет оценке:
при
Отсюда
следует, что
3) Для
применения формулы Тейлора 2-го порядка
вычислим вторую и третью производную
функции
Тогда
Согласно формуле (3.28) имеем:
или
При
искомая
величина вычисляется по приближенной
формуле:
.
Теперь
оценим погрешность
:
Итак,
Последовательно применяя разные формулы
для подсчета приближенного значения
,
мы получили три числа:
.
Последний результат − самый точный,
так как погрешность меньше, чем
■
Пример 3.25. Найти приближенное
значение
с
абсолютной погрешностью, не превосходящей
□ Воспользуемся формулой Маклорена
го
порядка для функции
Выберем порядок формулы таким образом,
чтобы остаточный член формулы Тейлора
не превышал заданной погрешности:
Выполним оценки: при
Подберем такое наименьшее натуральное
число
,
чтобы выполнялось неравенство:
Заметим, что при
При
Произведем подсчет искомой величины
по формуле Маклорена 6-го порядка при
:
С точностью до
■
3.5.2. Составление уравнений касательной и нормали к кривой
Кривая, заданная явным уравнением
Уравнение касательной, проведенной
к графику
функции
в точке
,
в которой функция
дифференцируема, имеет вид:
где
Таким образом,
(3.29)
Прямая, проведенная через точку
перпендикулярно к касательной, называется
нормалью (см. рис. 3.9). Её уравнение
при
имеет вид:
(3.30)
Здесь учтено, что у взаимно перпендикулярных наклонных прямых произведение угловых коэффициентов равно числу −1.
Часто вместо
пишут
вместо
−
.
Касательная и нормаль определены и в
точках с бесконечной производной, где
.
В зависимости от значения выделяют три случая.
1. Если
,
то касательная и нормаль − наклонные
прямые, описываемые уравнениями:
касательная:
(3.31)
нормаль:
(3.32)
2. Если
то
касательная – горизонтальная прямая
(горизонталь)
,
нормаль – вертикальная прямая (вертикаль)
.
3. Если
то
касательная – вертикаль
,
нормаль – горизонталь
.
Чтобы составить уравнения касательной
и нормали к графику функции
в точке
нужно определить три числа:
и подставить их значения в уравнения
искомых линий, при этом целесообразно
все данные собрать в таблице 3.3.
|
|
|
|
|
|
Пример 3.26. Написать уравнения
касательной и нормали к кривой, заданной
уравнением
в точке, где а)
;
б)
.
□ Найдем производную:
.
а) Вычислим
и
Заполним таблицу.
|
|
|
1 |
0 |
1 |
Так как производная в точке
отлична от нуля, то имеет место 1-й случай.
По формулам (3.31), (3.32) уравнение касательной:
уравнение нормали:
б) Вычислим
и
Заполним таблицу.
|
|
|
|
− |
0 |
Так как производная в точке
равна нулю, то имеет место 2-й случай.
Касательная − горизонтальная прямая:
нормаль − вертикальная прямая:
■
Пример 3.27. Написать уравнения
касательной и нормали к кривой, заданной
уравнением
в точке, где а)
б)
|
|
|
5 |
2 |
0,25 |
а) Чтобы заполнить таблицу, сначала
нужно найти
Составим уравнение:
Его решением является число
Потом находим
Соответствующая таблица имеет вид:
Применяем
формулы (3.31) и (3.32), так как
.
Касательная:
Нормаль:
б)
Точка
является
граничной точкой области определения.
В этой точке существует бесконечная
правосторонняя производная:
Следовательно, мы имеем дело с третьим
случаем. Через точку
проходят
вертикальная касательная
и нормаль
совпадающая
с осью абсцисс.
Кривая, заданная параметрическими уравнениями
Пусть кривая задана параметрическими
уравнениями
,
точка
принадлежит графику Г функции. По
аналогии с кривой, заданной явно,
рассмотрим три случая. Вычисление
осуществим по формуле параметрического
дифференцирования.
1. Если
,
то касательная и нормаль являются
наклонными прямыми и их уравнения имеют
вид:
,
(3.31)
,
(3.32)
где
(3.33)
2. Если
,
то касательная и нормаль являются
горизонталью и вертикалью, соответственно,
и их уравнения имеют вид:
касательная:
,
нормаль: .
3. Если
,
то касательная и нормаль являются
вертикалью и горизонталью, соответственно,
и их уравнения имеют вид:
касательная: ,
нормаль: .
Пример 3.28. Написать уравнения
касательной и нормали к кривой, заданной
уравнениями
в точке, где а)
б)
в)
□
Заметим, что кривая, заданная уравнениями
является окружностью единичного радиуса
с центром, смещенным на единицу
относительно точки О по оси абсцисс
(см. рис. 3.10). Для обоснования утверждения
достаточно уединить тригонометрические
функции, возвести каждое уравнение в
квадрат, после чего сложить их:
Последнее уравнение − уравнение
окружности с центром в точке (1;0) и
радиусом, равным 1. Исходные уравнения
можно интерпретировать как закон
перемещения материальной точки в
плоскости
Производная, вычисленная в примере
3.16,
равна угловому коэффициенту касательной
к траектории движения − окружности в
произвольный момент времени
а) Вычислим значения
,
Производная
отлична от нуля, значит, имеет место
первый случай.
Заполним таблицу 3.3.
|
|
|
|
|
−1 |
Подставляем найденные значения в уравнения (3.30) и (3.31) и получаем
касательную:
нормаль:
,
проходящие через точку
.
б) В задании указана только ордината
точки касания. Чтобы найти все элементы
уравнений касательной и нормали, решим
тригонометрическое уравнение
Отсюда
Так
как производная
равна нулю, то имеет место второй случай.
Касательная − горизонтальная прямая
нормаль − вертикальная прямая , проходящие
через точку
в) В задании указана только абсцисса
точки касания. По аналогии с пунктом
б) решим уравнение:
При этом значении
не определен, но существует
Имеет
место третий случай. Отсюда следует,
что через точку С(2; 0) проходит
вертикальная касательная
,
а нормалью является горизонтальная
прямая
− ось абсцисс.
Полученные результаты имеют наглядный геометрический смысл. В пункте б) задания нужно было получить уравнения касательной и нормали в крайней нижней точке В заданной окружности с координатами (1; −1). Очевидно, что касательная и нормаль − это соответственно горизонтальная и вертикальная прямые, проходящие через точку (1; −1).
В пункте в) нужно было получить касательную и нормаль в крайней правой точке С заданной окружности с координатами (2;0). Очевидно, что касательной является вертикальная прямая, проходящая через точку (2;0), а нормалью − ось абсцисс.■
Угол между кривыми
Пусть
− уравнения линий в плоскости
Углом
между этими линиями в
точке их пересечения
называют
угол между касательными, проведенными
к графикам функций в точке
.
Если функции дифференцируемы в точке , то угол можно найти из тригонометрического уравнения:
.
(3.34)
Пример 3.29. Найти
угол между кривыми, заданными уравнениями
,
в точке их пересечения.
□ 1. Найдем точку пересечения графиков
из системы:
Уравнение
имеет единственное решение
Тогда
Точка пересечения графиков имеет
координаты
.
2. Найдем производные функций:
3. Вычислим значения производных в точке,
где
4. Составим и решим уравнение относительно угла :
■