Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ДИФОП для пересылки.doc
Скачиваний:
18
Добавлен:
22.11.2019
Размер:
4.59 Mб
Скачать

Задачи для самостоятельного решения

1. Используя формулу Маклорена порядка, найдите приближенное значение и оцените абсолютную погрешность, если:

1) ; 2) .

Ответы: 1)0,3 и 2)

2. Найдите приближенное значение и оцените абсолютные погрешности:

1) при помощи первого дифференциала; 2) при помощи формулы конечных приращений;

3) при помощи формулы Тейлора 2-го порядка.

Ответы: 1)1,041(6); 2) 3)

3.Составьте уравнения касательной и нормали к графику заданной функции в заданной точке :

1) 2) 3)

4) 5) 6) .

Ответы: 1) , ; 2) , ; 3) , ;

4) , ; 5) , ; 6) , .

4. Составьте уравнения касательной и нормали к графику в точке, где 1) 2) 3) 4)

Ответы (уравнения касательной и нормали): 1)

2) ; 3) 4) .

5. Найдите углы между графиками функций в точке их пересечения:

1) ; 2)

Ответы: 1) 2)

6.Укажите вид неопределенности и найдите пределы ( )

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) 13)

14) ; 15) .

Ответы: 1) , 0; 2) 3) ,0; 4) , ; 5) , ; 6) ;

7) , ; 8) 9) 10) 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .

3.6. Исследование функции одной переменной

В этом разделе рассматриваются приложения дифференциального исчисления функций одной переменной к исследованию функций, в частности, для отыскания промежутков монотонности и промежутков выпуклости, точек экстремума и точек перегиба. Точки экстремумов и перегибов вместе с точками разрыва являются характерными точками функции.

3.6.1. Промежутки монотонности. Достаточные условия монотонности функции на промежутке

Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке числовой оси. На рис. 3.11 приведен график функции , имеющей пять промежутков монотонности и четыре точки экстремума: промежутки возрастания − промежутки убывания − точки экстремума − , среди которых − точки максимумов, а − точки минимумов. Как видим, при наличии графика функции промежутки монотонности и точки экстремума можно найти визуально. При отсутствии графика следует использовать аналитические методы.

Теорема 3.14 (критерий постоянства функции на промежутке). Чтобы функция была постоянной на промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ее производная обращалась в нуль в каждой точке этого промежутка:

З а м е ч а н и е. Функция − это единственная функция, являющаяся одновременно и неубывающей, и невозрастающей функцией на множестве .

Теорема 3.15 (достаточные условия монотонности функции на интервале). Если производная функции положительна на некотором промежутке , то функция строго возрастает на этом промежутке. Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция строго убывает на этом промежутке.

Математическая запись теоремы имеет вид:

Теорема 3.16 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет

экстремум в точке то в этой точке производная обращается в нуль или конечная производная не существует: (3.36)

На графике, приведенном на рис. 3.11, в точках касательная параллельна оси абсцисс и, следовательно, производная обращается в нуль; в точке касательная − вертикаль, и производная, соответственно, бесконечна; в точке − точке излома графика − производная не существует (существуют неравные односторонние производные и, соответственно, односторонние касательные).

Точку , удовлетворяющую одному из условий (3.36), называют критической точкой первого рода функции (критической точкой функции по первой производной).. Помимо этого термина используют и такие: точка возможного экстремума; точка, подозрительная на экстремум. Точку, в которой производная обращается в нуль, называют стационарной точкой функции.

Отметим, что не всякая критическая точка является точкой экстремума. На рис. 3.14 между точками существует точка , в которой производная равна нулю, но эта точка не является точкой экстремума.

При помощи необходимых условий экстремума из области определения функции выделяют все возможные точки экстремума, среди которых затем производят отбор при помощи достаточных условий экстремума.

Теорема 3.17 (достаточное условие экстремума с использованием первой производной). Пусть является критической точкой 1-го рода функции , дифференцируемой в некоторой проколотой окрестности Если производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку в положительном направлении оси абсцисс, то в этой точке − минимум; если знак производной меняется с

плюса на минус, то − точка максимума. Если производная не меняет знак при переходе через точку , то в этой точке − нет экстремума.

Теорема 3.18 (достаточное условие экстремума с использованием производных

высших порядков). Пусть функция раз дифференцируема в окрестности стационарной точки и Если − четное число, то − точка экстремума, причем − точка минимума при ; − точка максимума при Если − нечетное число, то в точке нет экстремума и является точкой перегиба.

Следствие. Если в стационарной точке вторая производная положительна: то − точка минимума. Если в стационарной точке вторая производная отрицательна: то − точка максимума.

З а м е ч а н и е 1. Теорему 3.18 целесообразно применять в тех случаях, когда в точке проще выполнить подсчет значений производных высших порядков, чем выяснять, меняет ли знак первая производная при переходе через эту точку.

З а м е ч а н и е 2. Понятие точки перегиба вводится в этом разделе далее.

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ И ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА

  1. Найти область определения функции .

  2. Найти производную .

  3. Найти критические точки 1-го рода из условий

  4. Исследовать знак первой производной по обе стороны от каждой критической точки и сделать вывод о промежутках монотонности и точках экстремума.

5. Найти значения функции в точках экстремума

Пример 3.35. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

□ 1. Функция определена, непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси: .

2. Ее производная равна

3. Поскольку при , то − критическая точка.

4. При при По теореме 3.15 функция возрастает при и убывает при . При переходе через точку в положительном направлении оси абсцисс знак производной меняется с плюса на минус. Поэтому − точка максимума.

5.

На рис. 3.12 приведены знаки первой производной функции в области определения. Стрелками схематично изображено поведение функции − возрастание и убывание − на отдельных участках области определения. ■

Пример 3.36. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

□ 1. Функция определена, непрерывна и дифференцируема при .

2. Ее производная равна

3. Значит, − критическая точка.

4. Поскольку в , то знак производной совпадает со знаком разности При производная , при производная . Делаем вывод: функция возрастает при и убывает при , поэтому − точка максимума (см. рис. 3.13).

5.

Пример 3.37. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

□ 1. Область определения

2. Найдем производную:

3. − критические точки.

4. Исследуем знаки производной (см. рис. 3.14). При переходе через точку в положительном направлении оси абсцисс знак производной меняется с плюса на минус, а при переходе через точку с минуса на плюс. Отсюда следует, что функция возрастает при убывает при Точка − точка максимума, − точка минимума.

5.

Проверим сделанный вывод, используя вторую производную: . Поскольку , то в точке − максимум, в точке − минимум. ■

Пример 3.38. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

□ 1. Область определения

2. Найдем производную:

3. Найдем критические точки:

4. Определим и укажем на рис. 3.15 знаки производной на промежутках между критическими точками. Функция возрастает на промежутках и убывает на промежутке

Стационарные точки являются, соответственно, точками максимума и минимума заданной функции. Критическая точка не является точкой экстремума, так как производная не меняет знак при переходе через эту точку. Точку , принадлежащую области определения, называют точкой убывания функции, так как функция и слева, и справа от этой точки убывает.

5.

Пример 3.39. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функций:

а) б) .

□ а) 1. Область определения 2. Найдем производную: 3.Найдем критическую (стационарную) точку:

4.Найдем все производные до четвертого порядка включительно: В стационарной точке все производные до третьего порядка включительно обращаются в нуль: , а производная четвертого четного порядка отлична от нуля и положительна: По теореме 3.18 функция имеет минимум в этой точке:

б) 1. Область определения 2. Найдем производную: 3.Найдем критическую (стационарную) точку:

4.Найдем все производные до пятого порядка включительно: В стационарной точке все производные до четвертого порядка включительно обращаются в нуль: , а производная пятого нечетного порядка отлична от нуля: По теореме 3.18 функция не имеет экстремума в точке . Точка является точкой перегиба. ■