3.3. Производные и дифференциалы высших порядков

3.3.1. Дифференцирование явной функции

производные высших порядков

Рассмотрим функцию , заданную явно и имеющую конечную производную в любой точке промежутка . Если функция имеет производную (конечную или бесконечную) в каждой точке , то эту производную называют производной 2-го порядка (второй производной) функции и обозначают

Если в свою очередь функция имеет производную , то ее производная называется производной 3-го порядка (третьей производной): Аналогично берутся производные более высоких порядков.

Если в каждой точке промежутка существует конечная производная (п−1)-го порядка , то производная n-го порядка по определению равна производной от производной -го порядка:

(3.13)

Порядок производной − число п − определяет число операций дифференцирования, которому подвергается функция. Поэтому естественно за производную нулевого порядка принять саму функцию: . Таким образом, допустимы следующие значения числа п: 0; 1; 2;…; k;… Производные, порядки которых больше единицы ( ), называют производными высших порядков.

Для производной n-го порядка в произвольной точке используют следующие обозначения: Круглые скобки в знаменателе обычно не пишут. Если порядок производной − конкретное число, то его обозначают штрихами (для производных до третьего порядка включительно), а также записывают римской цифрой без скобок или арабской в скобках:

Если производная п-го порядка функции в точке существует, то ее значение − число (собственное (конечное) или несобственное ), которое обозначается одним из следующих способов:

Если производная п-го порядка конечна в точке , то в некоторой ее окрестности определены и непрерывны и сама функция , и все ее производные до -го порядка включительно. Это утверждение можно доказать, опираясь на теорему 3.2.

В граничных точках отрезка производные высших порядков по аналогии с первой производной определяются через значения односторонних производных таких же порядков.

Заметим, что у линейной функции первая производная равна постоянной, а все последующие производные равны нулю: ( . У квадратичной функции первая производная является линейной функцией, вторая производная − постоянной, а все последующие производные, начиная с третьей производной, равны нулю. Обобщая наблюдения, можно доказать, что все производные многочлена п-й степени , начиная с производной -го порядка, тождественно равны нулю:

Механический смысл второй производной

Пусть − время, − путь, пройденный материальной точкой при прямолинейном движении за время . В разделе 3.1.2 ускорение движения было определено как скорость изменения скорости движения и описано формулой Так как , то ускорение равно второй производной пути по времени:

Ускорение является важной характеристикой движения. Если ускорение равно нулю на некотором временном промежутке, то движение − равномерное. Если ускорение является положительной фиксированной величиной на временном промежутке, то движение − равноускоренное; если ускорение − отрицательная фиксированная величина, то движение − равнозамедленное.

Вернемся к примеру 3.5, в котором путь, пройденный материальной точкой по прямой за время t, описывался формулой . Ускорение движения Первая производная пути по времени равна вторая производная Значит, на всем пути ускорение постоянно: . Так как , то движение − равноускоренное.

Дифференциалы высших порядков

Продолжим изучение функции , имеющей конечные производные до п-го порядка включительно в каждой точке промежутка По теореме 3.3 эта функция дифференцируема на и ее дифференциал вычисляется по формуле . Назовем его первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка. В частности, в точке первый дифференциал равен .

Дифференциалом 2-го порядка (вторым дифференциалом) функции в точке называется дифференциал первого дифференциала, который равен: . Вычислим второй дифференциал в точке , полагая что −

независимая переменная ( рассматриваем как постоянный множитель): . Отсюда имеем: .

Если − произвольная точка промежутка то или Тогда . Получено соотношение, которое использовали для обозначения второй производной.

Дифференциалом 3-го порядка (третьим дифференциалом) функции в точке называется дифференциал второго дифференциала, который равен . Если − независимая переменная, то .

Продолжим процедуру дифференцирования функции. Дифференциал дифференциала ( −1)-го порядка функции в точке называют дифференциалом п-го порядка и обозначают Отсюда, обобщая формулы для дифференциалов 2-го и 3-го, получим связь между производной и дифференциалом п-го порядка: . Эту формулу для дифференциала п-го порядка можно компактно записать в виде

(3.14)

Отсюда

(3.15)

Таким образом, выражение является не только обозначением производной п-го порядка, но и в случае независимой переменной х формулой для нахождения п-й производной как частного п-го дифференциала и п-й степени дифференциала : Можно доказать, что дифференциалы высших порядков в общем случае не обладают инвариантным свойством в отличие от дифференциалов 1-го порядка.

Функцию, имеющую дифференциалы до -го порядка включительно в точке , называют раз дифференцируемой в этой точке. Функцию, раз дифференцируемую в каждой точке промежутка, называют раз дифференцируемой на этом промежутке.

Пример 3.17. Найти третью производную и третий дифференциал функции и вычислить их в точке

□ Сначала найдем все производные до третьего порядка включительно:

Потом по формуле (3.14) при получим: .

Подставляя в выражения для и , имеем: В точке третья производная равна числу, а третий дифференциал является степенной функцией дифференциала . ■

Пример 3.18. Вывести формулу для производной п-го порядка функции .

□ Выполним последовательное дифференцирование функции при : ;

;

В результате получим , ■