3.2.6. Параметрическое дифференцирование
Теорема 3.7 (о производной параметрически
заданной функции). Пусть переменные
заданы как функции параметра
Если
функции
определены в некоторой окрестности
точки
дифференцируемы в этой точке и
,
то в некоторой окрестности точки
определена функция
аргумента
которая дифференцируема в точке
,
и в этой точке производная
вычисляется по формуле
.
(3.14)
Заметим, что производная параметрически
заданной функции также является
параметрически заданной функцией:
Пример 3.16. Найти производную
функции, заданной параметрическими
уравнениями
при
□ Здесь
Сначала
найдем производную по формуле (3.14) при
произвольном допустимом значении
:
Затем вычислим ее значение при
■
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите производные функций, используя общие правила дифференцирования. Упростите их и вычислите значения в точке :
1) |
7)
|
2) |
8) |
3)
|
9)
|
4) |
10)
|
5)
6)
|
11)
|
;
Ответы:
1) 2)
3)
4) 5)
6)
|
7) 8)
9)
10)
11)
|
;
2. Найдите производные функций, используя правило дифференцирования сложной функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Ответы: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
3. Используя теоремы о производной обратной или сложной функции, найдите указанные производные от неявных фукций:
1)
;
2)
,
Ответы:
1)
2)
4. Найдите производные функций, используя логарифмическую производную:
1)
2)
3)
Ответы:
1)
2)
3)
5.
Найдите производную
функции,
заданной параметрическими уравнениями:
1)
2)
3)
4)
Ответы:
1)
2)
3)
4)
6.
Найдите эластичность
функции спроса
,
вычислите ее значение в точке
и укажите тип эластичности.
Ответ:
Спрос неэластичен.
7.
Найдите эластичность
функции спроса
(
,
).
Ответ:
8.
Найдите темп роста объема выпуска для
производственной функции
при
Ответ: 0,5.
9.
К графику
функции
в
точке с абсциссой 
проведена
касательная. Определите угловой
коэффициент касательной, если 1)
2)
.
Ответы: 1)13;
2)
.
10.
Высота положения
материального
тела
относительно
поверхности Земли задана законом 
Найдите скорость
движения: 1) при
2) при
.
Ответы: 1)
2) 0.
11. В сосуде процесс охлаждения
жидкости, предварительно нагретой до
температуры
,
описывается формулой:
температура внешней среды,
−
числовой коэффициент, связанный со
свойствами жидкости. Найдите
скорость охлаждения при
.
Ответ:
.
12. Закон роста населения некоторого
региона задан эмпирической формулой
где
−
время, измеряемое в годах,
−
численность населения. Найдите скорость
прироста населения 1)при
;
2) при
;
3) при
.
Ответы: 1)100000; 2)250000; 3)400000.
13. Выручка
от оптовой продажи
мобильных телефонов описывается функцией
Найдите предельную выручку, если продано:
1) 5 мобильников;
2) 100 мобильников. Ответы: 1)4900; 2)3000.