Задачи для самостоятельного решения

1. Используя определения, найдите производные и дифференциалы следующих функций:

Ответы:

4)

2. Определите значение производной  , если касательная, проведенная к графику функции   в точке  , пересекает координатные оси в точках   и   :

1) , ; 2) ; 3) , ; 4) ,

Ответы: 1) 2) ; 3) 4)

3. К графику функции   в точке   проведена касательная, проходящая через точки Определите значение производной 

Ответ: 0,2.

4. К графику функции   в точке   проведена касательная, которая образует с положительным направлением оси абсцисс угол: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Определите значение производной 

Ответы: 1) 2) 3) ; 4) .

3.2. Основные приемы дифференцирования

3.2.1. Табличное дифференцирование

Всякая элементарная функция в каждой точке области определения имеет производную, которая также является элементарной функцией. Выражения для производных основных элементарных функций приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

3.2.2. Общие правила дифференцирования

Теорема 3.4 (о дифференцировании суммы, разности, произведения и частного функций). Пусть функции определены в некоторой окрестности точки Если эти функции дифференцируемы в точке то их сумма, разность, произведение и частное также дифференцируемы в точке при этом в точке имеют место соотношения, приведенные в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Производные	Дифференциалы

Эти формулы называют общими правилами дифференцирования.

Если точка не указана, то функцию дифференцируют при произвольном значении , принадлежащем области определения функции. Если точка указана, то сначала функцию дифференцируют при произвольном значении , принадлежащем области определения функции, а затем вычисляют значение производной или дифференциала в точке .

Пример 3.7. Найти производную функции

□ Применим правило 3 дифференцирования произведения функций: . Затем по правилу 2 из табл. 3.2 находим производную разности двух функций: Производные взяты из табл. 3.1 (см. формулы 2, 1 и 3 соответственно): Подставим эти производные и получим: ■

Пример 3.8. Найти производную и дифференциал функции в точке

□ Преобразуем логарифмическую функцию, произведя переход к основанию, равному числу , по формуле:

Найдем производную и дифференциал в произвольной точке Для этого воспользуемся правилом 5 дифференцирования частного и формулами 1 и 4 из табл. 3.1 для производных функций соответственно:

. Дифференциал выразим по формуле (3.5):

.

Теперь в найденные выражения подставим и получим: ■

3.2.3.Дифференцирование сложной и неявной функции. Инвариантное свойство дифференциала

Теорема 3.5 (о производной сложной функции). Если функция дифференцируема в точке , функция дифференцируема в точке то сложная функция дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле:

, или кратко (3.7)

В точке верна и такая запись: . Переменные называют зависимой и независимой переменной дифференцирования соответственно.

Правило дифференцирования сложной функции приводит к важному свойству, называемому инвариантным свойством первого дифференциала.

Дифференциал функции записывается в одной и той же форме

, (3.8)

как в случае независимой, так и в случае зависимой переменной .

Из этого свойства следует, что формула для вычисления дифференциала единая, не зависящая от вида переменной Различие состоит лишь в способе вычисления дифференциала

1) для независимой переменной дифференциал

2) для зависимой переменной дифференциал вычисляется по формуле

Пример 3.9. Найти производную и дифференциал сложной функции

□ По формуле (3.7) имеем:

Далее пользуемся формулой (3.5):

Заметим, этот результат можно было получить другим способом − методом исключения зависимой переменной : , и последующим дифференцированием полученного произведения: ■

Пример 3.10. Найти производную и дифференциал функции

□ Запишем эту сложную функцию в виде композиции двух функций: Применим формулу (3.7) и получим:

Подставим производную в формулу (3.5) и найдем дифференциал:

При значение производной равно Выражение для дифференциала имеет вид и является линейной функцией дифференциала ■

Дифференцирование неявной функции с помощью правила дифференцирования сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции можно применять при нахождении производных и дифференциалов неявных фунций.

Рассмотрим уравнение Это соотношение называют неявным уравнением, связывающим неявную функцию и независимую переменную (см. раздел 1.3.2).

Например, уравнения и определяют одну и ту же функцию, но отличаются друг от друга формой представления. В первом случае квадратичная функция задана явно, а во втором − неявно.

Будем полагать, что на множестве D существует дифференцируемая функция , обращающая уравнение в тождество . Дифференцируя обе его части как сложную функцию по переменной , получим линейное уравнение относительно производной . Решив его, найдем производную в виде функции переменных Тогда по формуле (3.5) дифференциал

Покажем, что выражения для производной функции, заданной соотношениями и , совпадают. В первом случае (явное задание функции): Во втором (неявное задание функции):

. Как видим, результат не зависит от способа его получения.

Если в качестве независимой переменной выбрана переменная , то уравнение можно рассматривать как соотношение, определяющее неявную функцию Поиск производной ( ) и дифференциала выполняют способом, аналогичным выше описанному.

Пример 3.11. Найти производную и дифференциал функции, заданной неявно уравнением

□ Полагаем, что существует функция независимой переменной , удовлетворяющая заданному уравнению. Дифференцируем данное соотношение по

Уединим производную и получим: .

По формуле (3.5) . ■

Другой способ отыскания производной неявной функции с формулировкой условий ее существования рассмотрен в разделе 5.2.9.