Задачи для самостоятельного решения
1.Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции :
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Ответы:
1)
убывает
на
,
возрастает
на
,
,
;
2)
убывает
на
,
возрастает
на
,
,
,
,
,
;
3)
убывает
на
,
;
4)
убывает
на
,
возрастает
на
,
,
;
5)
убывает
на
,
возрастает
на
,
,
,
,
;
6)
убывает
на
;
7)
убывает
на
,
возрастает
на
,
,
,
,
,
;
8)
убывает
на
,
возрастает
на
,
,
.
2.Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба графика функций :
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
.
Ответы:
1) выпуклость вниз на
;
2)
выпуклость вниз на
,
выпуклость вверх на
,
точка перегиба
;
3)
выпуклость вниз на
,
выпуклость вверх на
,
точка перегиба
;
4)
выпуклость вниз на
,
выпуклость вверх на
;
5)
выпуклость вниз на
,
выпуклость вверх на
;
6)
выпуклость вниз на
,
выпуклость вверх на
,
точка перегиба
,
;
7)
выпуклость вниз на
,
выпуклость вверх на
;
8)
выпуклость вниз на
,
выпуклость вверх на
,
точка перегиба
;
9)
выпуклость вниз на
,
выпуклость вверх на
,
точка перегиба
.
3. Найдите все асимптоты графика функции :
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Ответы:
1) вертикальная асимптота
,
горизонтальная асимптота
;
2)
вертикальная асимптота
,
,
горизонтальная асимптота
;
3)
горизонтальная асимптота
;
4)
вертикальная асимптота
,
,
левая горизонтальная асимптота
,
правая горизонтальная асимптота
;
5) левая
горизонтальная асимптота
;
6)
вертикальная асимптота
,
наклонная асимптота
;
7) левая наклонная асимптота ; правой асимптоты нет;
8)
наклонная асимптота
.
В заданиях 4−11 исследуйте функции по общей схеме (см. раздел 3.6.4) и постройте графики.
В ответах использованы сокращения: чет. − четная функция, нечет. − нечетная функция, период. − периодическая функция, т.р. − точка разрыва, в.ас. − вертикальная асимптота, г.ас. –горизонтальная асимптота, н.ас. − наклонная асимптота, т. max и т. min − точка максимума и точка минимума, т.п. − точка перегиба.
.
Ответ:
1)
;
2) чет., непериод.; 3)
;
4) нет т.р. и в. ас.; 5)нет н. ас.; 6)
,
−
т. max,
−
т. min; 7)
,
−
т.п.
,
.
Ответ:
1)
;
2) функция общего вида, непериод.; 3)
.При
нет пересечений; при
;
при
;
4)
− в. ас.; 5)
− н. ас.; 6)
,
,
;
7)
;
нет т.п.
.
Ответы:
1)
;
2) нечет., непериод.; 3)
;
4)
−
г. ас.; 5)нет н.ас.; 6)
,
−
т. max,
− т. min;
7)
,
−т.п.
.
Ответы:
1)
;
2) нечет., непериод.; 3)нет пересечений;
4)
правая
ас.; 5)нет н.ас.; 6)
,
нет т. max
и т. min;
7)
,нет
т.п.
.
Ответы:
1)
;
2) функция общего вида, непериод.; 3)
;
4)
−
лев. ас.; 5) нет н.ас.; 6)
,
-
т. min; 7)
,
−
т.пер.
.
Ответы:
1)
;
2) функция общего вида, непериод.; 3)
;
4)
− гориз. ас.; 5) нет н.ас.; 6)
,
−
т.max; 7)
-т.пер.
.
Ответы:
1)
;
2) функция общего вида, непериод.; 3)
;
4) нет т.р. и в.ас.; 5)
−
левая накл. ас.; 6) нет т. max
и min, так как
;
7)
,
нет т.пер.
.
Ответы: 1) ; 2) функция общего вида, непериод.;
3)
;
4) нет т.р. и в.ас. ;
5)
−
накл. ас.; 6)
,
;
7)
,
,
.
12.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:
1)
2)
3)
4)
;
5)
6)
7)
8)
.
Ответы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
13.
Найдите наибольшую прибыль предприятия
при производстве и реализации продукции,
если затраты на производство
единиц продукции равны
удельная цена единицы продукции
Ответ:
