3.6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть функция непрерывна на отрезке Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

1. Найти производную функции

2. Найти критические точки функции из условий:

3. Выбрать критические точки, принадлежащие отрезку

4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.

5. Выбрать наибольшее и наименьшее число среди полученных в п. 4 чисел.

З а м е ч а н и е 1. Поставленная задача имеет решение, потому что согласно теореме Вейерштрасса (см. раздел 2.2.3) всякая непрерывная на отрезке функция достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Эти значения достигаются либо в критических точках функции, либо на концах отрезка.

З а м е ч а н и е 2. Приведенный алгоритм неприменим для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на множестве, отличном от отрезка. В этом случае для решения задачи нужно выполнить исследование функции при помощи производной.

Пример 3.49. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

□ Данная функция − многочлен, который относится к числу элементарных функций. На отрезке функция определена и, следовательно, непрерывна (см. раздел 2.2.3). Для решения поставленной задачи применим описанный алгоритм.

1. Найдем производную:

2. Составим и решим уравнение:

3. Отберем критические точки, принадлежащие отрезку . Точка не принадлежит заданному отрезку и ее далее не рассматриваем. С точками продолжим исследование.

4. Вычислим в отобранных точках и на концах отрезка:

5. Сравним четыре числа и получим ■

Пример 3.50. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

□ Данная элементарная функция непрерывна на отрезке Описанный алгоритм применим.

1. Найдем производную:

2. Критических точек нет, так как

3. Нет точек для отбора.

4. Вычислим на концах отрезка:

5. Сравним числа и получим ■

При поиске наибольшего и наименьшего значения функции можно использовать подходящую замену переменной.

Пример 3.51. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

□ Данная элементарная функция непрерывна на отрезке Описанный алгоритм применим. Однако, более простой способ решения заключен в использовании замены переменной При этом отпадают проблемы, как связанные с решением тригонометрического уравнения для определения критических точек, так и отбором этих точек.

После указанной замены и с учетом основного тригонометрического тождества целевая функция примет вид: или . При значения заполняют отрезок . В новой постановке задача состоит в поиске наибольшего и наименьшего значения квадратичной функции на отрезке .

1. Найдем производную:

2. Найдем критическую точку:

3. Критическая точка принадлежит заданному отрезку.

4. Вычислим значение функции в критической точке и на концах отрезка:

5. Выберем наибольшее и наименьшее значения: ■

Пример 3.51. Найти наибольшую прибыль предприятия при производстве и реализации выпускаемой продукции, если затраты на производство единиц продукции равны зависимость между удельной ценой и количеством единиц продукции , которую можно продать по этой цене, имеет вид: .

□ Прибыль предприятия вычисляется по формуле: где − выручка от продажи единиц продукции. Подставим функции и в формулу для прибыли:

Найдем наибольшее значение функции при Поскольку на бесконечном промежутке алгоритм поиска наибольшего значения функции не применим, то

выполним исследование при помощи производной: Стационарная точка является точкой максимума функции прибыли, так как производная при переходе через эту точку меняет знак с плюса на минус. Эта точка максимума − единственная точка экстремума в области определения, следовательно, в этой точке достигается наибольшее значение функции прибыли: ■