
- •3. Пределы функций
- •Замечательные пределы. Примеры решений
- •4. Производные функций Как найти производную? Примеры решений
- •Производная сложной функции. Примеры решений
- •Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции
- •Сложные производные
- •Логарифмическая производная
- •Производная степенно-показательной функции
- •Производная функции, заданной неявно. Производная параметрически заданной функции
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производная параметрически заданной функции
- •Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
- •Производная функции в точке
- •Уравнение касательной к графику функции
- •Дифференциал функции одной переменной
- •Вторая производная
- •4. 2.Частные производные. Примеры решений
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
- •Абсолютная и относительная погрешность вычислений
- •Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
- •Частные производные функции трёх переменных
- •Частные производные второго порядка функции трёх переменных
- •5. Интегралы
- •5.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
- •5.1.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
- •Подведение функции под знак дифференциала
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •5.1.2. Интегрирование по частям. Примеры решений
- •Интегралы от логарифмов
- •Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •5.1.3.Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Использование тригонометрических формул
- •Понижение степени подынтегральной функции
- •Метод замены переменной
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •5.1.4. Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
- •Метод разложение числителя
- •Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- •Метод выделения полного квадрата
- •Подведение числителя под знак дифференциала
- •Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
- •Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
- •Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции
- •5.1.5. Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •5.1.6. Сложные интегралы
- •Последовательная замена переменной и интегрирование по частям
- •Методом сведения интеграла к самому себе
- •Интегрирование сложных дробей
- •Интеграл от неразложимого многочлена 2-ой степени в степени
- •Интегрирование сложных тригонометрических функций
- •Интеграл от корня из дроби
- •5.2. Определенный интеграл. Примеры решений
- •5.2.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •5.2.2. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Уважаемый студент, распечатай и сохрани:
- •5.2.3. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры
- •5.2.3. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как вычислить объем тела вращения?
- •Теперь немного о геометрических иллюзиях.
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •5.3. Несобственные интегралы. Примеры решений
- •5.3.1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •5.3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •5.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
- •5.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:
- •Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла Тригонометрическая подстановка
- •5.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •5.4.3. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
- •5.4.4. Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
- •5.4.5. Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
- •5.4.6. Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
- •5.5. Как вычислить определенный интеграл по формуле трапеций и методом Симпсона?
- •Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?
- •Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона?
Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?
Сначала формула в общем виде. Возможно, она будет не всем и не сразу понятна… да Карлссон с вами – практические примеры всё прояснят! Спокойствие. Только спокойствие.
Рассмотрим
определенный интеграл
,
где
–
функция, непрерывная на отрезке
.
Проведём разбиение
отрезка
на
равных отрезков:
.
При этом, очевидно:
(нижний
предел интегрирования) и
(верхний
предел интегрирования). Точки
также
называют узлами.
Тогда
определенный интеграл можно вычислить
приближенно по
формуле трапеций:
,
где:
–
длина каждого из маленьких отрезков
или шаг;
–
значения подынтегральной функции в
точках
.
Пример 1
Вычислить
приближенно определенный интеграл по
формуле трапеций. Результаты округлить
до трёх знаков после запятой.
а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части. б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.
Решение:
а)
Специально для чайников я привязал
первый пункт к чертежу, который наглядно
демонстрировал принцип метода. Если
будет трудно, посматривайте на чертёж
по ходу комментариев, вот его кусок:
По
условию отрезок интегрирования нужно
разделить на 3 части, то есть
.
Вычислим
длину каждого отрезка разбиения:
.
Параметр
,
напоминаю, также называется шагом.
Сколько
будет точек
(узлов
разбиения)? Их будет на
одну больше, чем
количество отрезков:
Таким
образом, общая формула трапеций
сокращается до приятных размеров:
Для
расчетов можно использовать обычный
микрокалькулятор:
Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-его знака после запятой.
Окончательно:
Напоминаю, что полученное значение – это приближенное значение площади (см. рисунок выше).
б)
Разобьём отрезок интегрирования на 5
равных частей, то есть
.
Зачем это нужно? Чтобы Фобос-Грунт не
падал в океан – увеличивая количество
отрезков, мы увеличиваем точность
вычислений.
Если
,
то формула трапеций принимает следующий
вид:
Найдем
шаг разбиения:
,
то есть, длина каждого промежуточного
отрезка равна 0,6.
При
чистовом оформлении задачи все вычисления
удобно оформлять расчетной таблицей:
В первой строке записываем «счётчик»
Как
формируется вторая строка, думаю, всем
видно – сначала записываем нижний
предел интегрирования
,
остальные значения получаем, последовательно
приплюсовывая шаг
.
По
какому принципу заполняется нижняя
строка, тоже, думаю, практически все
поняли. Например, если
,
то
.
Что называется, считай, не ленись.
В
результате:
Ну что
же, уточнение, и серьёзное, действительно
есть!
Если для 3-х отрезков разбиения
,
то для 5-ти отрезков
.
Таким образом, с большой долей уверенности
можно утверждать, что, по крайне мере
.
Пример 2
Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01).
Решение: Почти та же задача, но немного в другой формулировке. Принципиальное отличие от Примера 1 состоит в том, что мы не знаем, НА СКОЛЬКО отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение .
Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы гарантированно достигнуть требуемой точности, но практике она часто трудноприменима. Поэтому выгодно использовать упрощенный подход.
Сначала
отрезок интегрирования разбивается на
несколько больших отрезков, как правило,
на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования,
например, на те же 5 частей. Формула уже
знакома:
И шаг, естественно, тоже известен:
Но
возникает еще один вопрос, до какого
разряда округлять результаты
?
В условии же ничего не сказано о том,
сколько оставлять знаков после запятой.
Общая рекомендация такова: к
требуемой точности нужно прибавить 2-3
разряда. В данном
случае необходимая точность 0,01. Согласно
рекомендации, после запятой для верности
оставим пять знаков (можно было и
четыре):
В
результате:
После первичного результата количество отрезков удваивают. В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков. И когда количество отрезков растёт, то в голову приходит светлая мысль, что тыкать пальцами в микрокалькулятор уже как-то надоело. Поэтому еще раз предлагаю закачать и использовать мой калькулятор-полуавтомат (ссылка в начале урока).
Для
формула
трапеций приобретает следующий вид:
В бумажной версии запись можно спокойно перенести на следующую строчку.
Вычислим
шаг разбиения:
Результаты
расчётов сведём в таблицу:
При
чистовом оформлении в тетрадь длинную
таблицу выгодно превратить в двухэтажную.
В
результате:
Теперь
рассчитаем, на сколько улучшился
результат:
Здесь используем знак модуля, поскольку нас интересует абсолютная разность, а не какой результат больше, а какой – меньше.
Полученная
оценка погрешности больше,
чем требуемая точность:
Поэтому
необходимо ещё раз удвоить количество
отрезков разбиения до
,
и вычислить уже
.
Ничего не придумываю, в реальных задачах
достаточно часто требуется провести
разбиение отрезка на 20 частей. С помощью
экселевского калькулятора готовый
результат можно получить в считанные
секунды:
.
Снова
оцениваем погрешность:
Полученная
оценка погрешности меньше,
чем требуемая точность:
Всё что осталось сделать, округлить последний (наиболее точный) результат до двух знаков после запятой и записать:
Ответ:
с
точностью до 0,01
Пример 3
Вычислить
приближенно определенный интеграл по
формуле трапеций с точностью до 0,001.
Перед
вами опять неберущийся интеграл (почти
интегральный косинус). В образце решения
на первом шаге проведено разбиение на
4 отрезка, то есть
.
Полное решение и примерный образец
чистового оформления в конце урока.