5.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
Вам понравится.
Рассмотрим
тот же определенный интеграл с симметричным
относительно нуля отрезком
интегрирования:
.
Если
подынтегральная функция
является нечётной,
то 
.
Почему такой интеграл равен нулю?
Пример 6
Вычислить
определенный интеграл
Выполним
чертеж:
Вот,
заодно и график функции 
,
который ещё нигде у меня не встречался,
график представляет собой перевёрнутую
кубическую параболу.
Проверим
нашу функцию на четность/нечетность:
,
значит, данная функция является нечётной,
и её график симметричен относительно
начала координат. Из
симметрии графика следует равенство
площадей, которые заштрихованы красным
и синим цветом.
При
вычислении определенного интеграла
площадь,
которая заштрихована синим цветом,
формально является отрицательной. А
площадь, которая заштрихована красным
цветом – положительной. Поскольку
площади равны и формально противоположны
по знаку, то они взаимно уничтожаются,
следовательно 
.
И еще раз подчеркиваю разницу между заданиями:
1) Любой определенный интеграл (само собой он должен существовать) – это всё равно формально площадь (пусть даже отрицательная). В частности, поэтому , так как в силу нечётности функции площади взаимно уничтожатся. Что и проиллюстрировано на конкретном примере.
2) Задача на нахождение площади – это совершенно другая задача. Так, если бы нам было предложено найти площадь фигуры в данном примере, то её следовало бы вычислить следующим образом:
Еще несколько коротких примеров на тему данного правила:
И, аналогично для любой нечетной функции и симметричного относительно нуля отрезка.
Применять ли данный метод на практике? На самом деле вопрос не такой простой. Когда вам предложен сложный пример с большим количеством вычислений, то можно, и даже уместно указать, что такой интеграл равен нулю, сославшись на нечетность функции и симметричность отрезка интегрирования относительно нуля. Как говорится, знание – сила, а незнание – рабочая сила.
Но когда вам предложен короткий пример, то преподаватель вполне обоснованно может заставить прорешать его подробно: взять интеграл и подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница. Например, вам предложено вычислить тот же неопределенный интеграл
.
Если вы сразу запишите, что
и поясните словами, почему получается ноль, то это будет не очень хорошо. Намного лучше «прикинуться дурачком» и провести полное решение:
.
А то, что интеграл равен нулю, вы будете знать заранее. И это знание 100%-но позволит избежать ошибки.
5.4.3. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
Второй раздел статьи предназначен для тех, кто хорошо разобрался с уроком Несобственные интегралы. Примеры решения, или, по крайне мере, понял бОльшую его часть. Речь пойдет о несобственных интегралах первого рода с бесконечным нижним пределом:
.
Пример 7
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Чем отличается данный интеграл от «обычного» несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом? По технике решения практически ничем. Так же нужно найти первообразную (неопределенный интеграл), так же нужно использовать предел при вычислении интеграла. Отличие состоит в том, что необходимо устремить нижний предел интегрирования к «минус бесконечности»:
.
Из вышесказанного следует очевидная формула для вычисления такого несобственного интеграла:
В
данном примере, подынтегральная функция
непрерывна на
и:
,
то есть, несобственный интеграл расходится.
Вот тут, главное, быть аккуратным в знаках и не забывать, что . Нужно внимательно разобраться, что куда стремится.
Пример 8
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.