Вариант 13

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют правую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(-1; 3; 3), B(2; 2; 1), C(0; 3; -2). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(2; 38), В(10; 2), С(-10; -10). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( 4; 1; -8) относительно прямой .

9) Даны вершины треугольника А(-11; -5; 3), В(-23; -17; -21), С(-17; -19; -11) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки А(-5; -3; 2) и В(-3; 6; 3) параллельно прямой .

11) Даны вершины тетраэдра A( 6; 9; 9), B( 1 ; 6 ; 2), C( 6; 8; 0), D( 6; 6; 5). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет параболу, и найти координаты ее вершины, величину параметра р и уравнения директрисы. Изобразить эту линию на чертеже.

Вариант 14

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют левую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(2; -5; 2), B(1; -3; 2), C(2; -3; 0). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(13; -34), В(-15; 2), С(1; 26). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( 0; -3; 9) относительно прямой .

9) Даны вершины треугольника А(11; -5; 4), В(-1; -17; -20), С(5; -19; -10) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки А(5; -2; 4) и В(10; 1; -2) параллельно вектору .

11) Даны вершины тетраэдра A( 7; 4; 3), B( 5; 0; 9), C( 8 ; 1; 7), D( 7; 7 ; 4). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет параболу, и найти координаты ее вершины, величину параметра р и уравнение директрисы. Изобразить эту линию на чертеже.