Вариант 11

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют правую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(2; 1; 0), B(3; 0; 3), C(2; -3; 7). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(2; 7), В(-11; 6), С(-2; -1). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( 4; 2; 9) относительно плоскости .

9) Даны вершины треугольника А(1; 3; 1), В(7; 45; 25), С(7; 25; 27) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(-1; -3; 4) и прямую

.

11) Даны вершины тетраэдра A( 3; 7; -5), B( 4; -2 ; 0), C( -4; 8; 0), D( 6 ; 4 ; 8). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет эллипс, и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.

Вариант 12

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют правую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(2; 3; -1), B(0; 4; 5), C(-2; -2; 4). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(14; 21), В(-24;5), С(10; -7). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( -6; 5; 13 ) относительно плоскости .

9) Даны вершины треугольника А(-1; 3; 4), В(11; -3; 22), С(16; -7; 8) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1; -4; 3), B(2; -5; 2); C(1; 2; 4).

11) Даны вершины тетраэдра A( 3; -1 ; 0), B( 9; -7; 3), C( 2; 5; -3), D( -5; 5; 2). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет эллипс, и найти координаты его центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.