Резников е.А.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1

Матрицы и системы линейных уравнений.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Челябинск

2011

ВАРИАНТ 1

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют левую тройку.

6)Даны вершины треугольника А(-1; 7; 1), B(3; -1; -2), C(-5; 3; 1). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(7; 14), В(10; -5), С(1; 12). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( 1; 4; 15) относительно плоскости .

9) Даны вершины треугольника А(3; -1; -5), В(-9;-37; -29), С(-3; -31; -13) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2; -4; 1) параллельно прямой и вектору .

11) Даны вершины тетраэдра A( 3; -1 ; 0 ), B( -6 ; 0; 1), C( 0; 8; 0), D( 4; 5 ; -5). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет гиперболу, и найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.

Вариант 2

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют левую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(2; -1; 0), B(-2; 1; 1), C(2; 2; -1). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(5; -13), В(22; 4), С(1; 3). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( -8; -1; -25) относительно плоскости .

9) Даны вершины треугольника А(3; -1; 5), В(-9; -13;-19), С(-3; -15; -9) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки А(4; -3; 4) и В(3; 1; 3) параллельно прямой .

11)Даны вершины тетраэдра A( 3 ; -6; 6), B( 9; 7; 3), C( 6; 1; -7), D( -6 ; 5; 8). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет гиперболу, и найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.