Вариант 3

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют левую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(0; -3; 4), B(1; 1; -2), C(5; 0; 4). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(-2; 8), В(7; -7), С(-8; -16). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( -4; -3; -5) относительно плоскости .

9) Даны вершины треугольника А(0; 5; 8), В(-12; 5; -16), С(-6; -1 -9) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки А(2; 3; 4) и В(-3; 1; 0) параллельно вектору .

11) Даны вершины тетраэдра A( 6; 6; 0), B( 6; -5 ; 7 ), C( 4; 7 ; -1 ), D( 3; 4; 0 ). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет гиперболу, и найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.

Вариант 4

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют левую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(4; -3; 2), B(-1; 4; 3), C(6; 3; -2). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(-2; 5), В(7; -7), С(-8; -7). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( -1; -3; -3) относительно плоскости .

9) Даны вершины треугольника А(0; -1; -4), В(-12; -1; -28), С(-6; -7; -21) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые .

11) Даны вершины тетраэдра A( 6; 4; 0), B( 3; 2; 3), C( 6 ; 6 ; 5), D( 9; 8 ; 9 ). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет гиперболу, и найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить эту линию на чертеже.