Вариант 23

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют правую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(3; 4; -2), B(2; 1; 5), C(5; 2; -2). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(8; -3), В(8; 7), С(2; -1). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( 2; 5 ; 0) относительно прямой .

9) Даны вершины треугольника А(3; 1; -5), В(15; -11; 19), С(13; -13; 7) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(-3; 4; 5) перпендикулярно прямой .

11) Даны вершины тетраэдра A( 6; 8; -6), B( 6; -5; 7 ), C( -4; 8; 1), D( 7; 3; 0). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет гиперболу, и найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнение директрис. Изобразить эту линию на чертеже.

Вариант 24

1) Вычислить определитель .

2) Найти матрицу , где .

3) Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)по формулам Крамера; б)с помощью обратной матрицы; в)методом Гаусса.

4) Найти площадь параллелограмма и острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: , если .

5) Найти единичный вектор , перпендикулярный векторам и такой, что векторы образуют правую тройку.

6) Даны вершины треугольника А(3; -2; 2), B(0; -1; 3), C(1; 2; 2). Вычислить его высоту, проведенную из вершины В и косинус внутреннего угла В.

7) Даны вершины треугольника А(17; 3), В(-26; 17), С(13; -5). Найти точку пересечения высоты, опущенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины С. Найти острый угол между ними и расстояние от этой медианы до вершины А.

8) Найти точку В, симметричную точке А( 2; 8; 7) относительно прямой .

9) Даны вершины треугольника А(-4; 2; -1), В(-16; 14; -25), С(-10; 4; -21) . Найти канонические уравнения высоты и медианы, проведенных из вершины С, а также острый угол между ними.

10) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(-1; 4; 5) и ось ОХ.

11) Даны вершины тетраэдра A( 8; -5; 2), B( 2; 6; -7), C( -6 ; 0 ; 2), D( 0 ; -2; 0). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D, угол между гранью ABD и основанием ABC и угол между ребром AD и плоскостью основания АВС.

12) Установить, что уравнение определяет гиперболу, и найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнение директрис. Изобразить эту линию на чертеже.