Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Мат. анализ (2 семестр)

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
16.03.2016
Размер:
922.92 Кб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет

Кафедра математического и функционального анализа

51(07)

Ш965

С.А. Шунайлова, М.А. Корытова

МАТЕМАТИКА

Часть 2

Сборник задач

Челябинск Издательский центр ЮУрГУ

2015

УДК 510(022)(076.1) Ш965

Одобрено учебно-методической комиссией

факультета математики, механики и компьютерных наук

Рецензенты:

Кипнис М.М., Лепчинский М.Г.

Ш965

Шунайлова С.А.

 

 

 

Математика. Часть 2.

Сборник

задач / С.А. Шунайлова,

 

М.А. Корытова. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2015. – 27 с.

 

Сборник содержит задания, предназначенные для проведения прак-

 

тических занятий и организации самостоятельной работы студентов

 

первого курса следующих

направлений

и специальностей: 38.03.01

«Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом», 38.03.05 «Бизнес-информатика», 38.05.01 «Экономическая безопасность», 38.05.02 «Таможенное дело».

Приведенные в сборнике задания соответствуют программе по математическим дисциплинам, изучаемым студентами экономических направлений и специальностей во втором семестре. Для наиболее эффективной организации практических занятий задания разделены на три уровня сложности.

УДК 510(022)(076.1)

© Издательский центр ЮУрГУ, 2015

2

Введение в математический анализ

Найдите область определения функции1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x log3 x 7 .

1.

y

 

 

1

 

 

 

 

3

.

 

 

8.

y log2

x 2

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

9.

y log2

 

3 x 2logх 5 .

2.

y 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10*. y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 .

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 1 x

 

3.

y

 

 

4 x2 .

 

 

 

11*. y

 

 

 

log5

x2 4x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. y x 5 2 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. y x2 10x 16 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12**. y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2x

 

 

6*. y arccos 2x 1 .

 

 

 

 

 

log5

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

x 3

7.

y ln 2 x .

 

 

 

13**. y lg cos x .

 

 

 

 

 

 

Установите четность или нечетность функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

y cos 2x xsin x .

20*. y

 

cos

3

 

 

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15*. y

 

 

 

 

3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21**. y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16*. y

 

 

 

x 1

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 х2 sin x

 

17.

y log2 x2 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22*. y ln

 

 

 

 

 

 

18*. y x2 sin 3x .

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 х

 

 

 

 

 

 

19*. y cos 2x tg2 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Постройте линии, заданные уравнениями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.

y 2x 8 .

 

 

 

31*. y

 

 

 

х 5

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 1

 

 

 

 

 

 

25.

y

х

2

5x 6 .

 

 

 

32*. y

 

 

 

 

 

4x 8 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y sin3x .

 

 

 

 

 

 

26*. y х2 5

 

x

 

6 .

 

33.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34*. y 3cos 2x 4 .

 

 

 

 

 

27*. y

 

 

 

5x 6

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y tg

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28*.

 

y

 

x 1.

 

 

 

35.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29**.

 

y

 

x

2

 

 

 

3х 2 .

36.

y 2x 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y log2 x 1 .

 

 

 

 

 

 

30.

y

 

 

 

 

 

 

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38**.

 

y

 

log2 x .

 

 

 

 

 

 

 

х 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислите пределы функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39.

lim

 

 

 

6x3

2x 1

.

 

41.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

3x4 2x 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x4 4x2 5

 

 

 

 

 

x 2x4 4x2

5

 

 

 

 

 

40.

lim

 

 

 

4x2

2x 10

.

42.

lim

 

3x2

7x 6

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x 7

 

 

 

 

 

 

 

x x5

 

 

 

 

 

x x2

 

 

 

 

 

 

 

1 Знаками «*» и «**» отмечены задачи, имеющие средний и повышенный уровни сложности, соответственно.

3

43.

lim

 

 

 

 

 

 

x5

2x 1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x4 4x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44.

lim

 

 

 

3x3 x 7

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 4

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 x2 2x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46.

lim

 

 

 

 

 

x3

2x 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 4x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

47.

lim

2x 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 x3 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48.

lim

 

x2 3x 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x2 4x

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49.

lim

3x2

x 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x2 4x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50.

lim

 

 

2x2 5x 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 x2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51*. lim

 

 

 

 

x3 2x 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x4 4x2

5

 

 

 

 

 

 

52*. lim

2x2 3x 2 2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 x3

x2 3x 6

 

 

53*. lim

 

x3

5x2 7x 3

.

 

 

 

 

 

 

4x2

5x

 

 

 

x 1 x3

2

 

 

54.

lim

1

 

3x 1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56.

lim

 

x2 5х 4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57.

lim

 

 

 

 

 

 

 

10 2x

 

1 x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

x2 x 6

 

 

 

 

 

58*. lim 1 4x 3 . x 2 1 x 3

59. lim 31 x 31 x .

x 0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

60.

 

lim

 

10 x

1 x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

61.

 

lim

 

 

 

 

 

x 3

x 1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

62.

 

lim

 

 

x2

3х

 

 

x2 2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

63.

lim 1 3x x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64*. lim 2x 1

x1

.

 

 

 

 

 

 

 

х 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4х 2

 

 

 

х 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

65.

 

lim

 

 

 

 

3

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

4х 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3х 2

4х 1

 

 

 

 

66.

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

3х 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2х2 х 7

 

2х 1

67.

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

2х

 

х 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 x 7

4х 1

68.

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

х

3х 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4х 2 х 5

 

 

 

 

69*.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

3х 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5х2 7

 

1 х

70*.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2х

 

3х

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 7

 

 

 

 

 

2х 1

71*.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2х

 

х 1

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2х 7 3 2х

72*.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

8х 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

73.

lim

arcsin 2x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

arctg 7x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74.

lim

sin2 x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

75.

lim

 

x2 x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 sin 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

76.

lim

 

 

 

tg 3x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 x2 3x

 

 

 

 

77.

lim x сtg3x .

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

78.

lim

 

 

sin2 5x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 x e3x 1

 

 

 

 

79.

lim

1 cos 4x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

e3x2 1

 

 

 

 

80*. lim

ln4 1 2x

.

 

 

1 cos x 2

 

 

 

x 0

 

 

 

81*. lim

xsin3 2x

 

.

 

1 cos5x 2

 

 

x 0

 

 

82*. lim

ех2 1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x 0 cos7x cos3x

 

3arcsin 3x 83*. lim .

x 0 tg x 1

84*.

lim

 

log5 x 1

.

 

 

 

 

 

 

x 5

 

 

 

 

 

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

85*. lim

sin x 2

.

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

x2 4

 

 

 

 

 

86**. lim

2х 8

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 sin x

 

 

 

 

 

 

87**. lim

sin x sin1

.

 

 

 

x 1

x 1

88**. lim

1 sin x tg2 x .

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

89*.

lim

 

 

х 5

tg

x .

 

 

 

 

x 5

 

3

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

90*. lim 1 ln 1 x х .

х 0

91*. lim sin 3x . x sin 2x

Вычислите пределы числовых последовательностей.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

92.

lim

 

 

 

 

 

 

cos

n n2 .

 

100.

lim

 

 

2n 1

 

 

 

2n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2

 

n 1 cos n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

93*. lim

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

n

 

 

 

101**. lim

 

 

 

 

n .

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2

 

sin

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

94.

lim

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

102*. lim

n3

n2

1 3 n3

n2 1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n

 

 

 

n 3

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

95*. lim

 

 

n sin n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n sin n

 

 

 

 

 

 

 

 

103.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n 5n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

96*. lim

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 3n 7n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

104.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n! n 1 !

 

 

n

 

3n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97*. lim

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

sin n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2 !

n 3 !

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

105*. lim

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

98.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2 3n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

1

 

 

n

2

 

106*. lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5 3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99.

lim

 

 

 

n2 n n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажите, что последовательности являются бесконечно большими.

 

 

 

 

107**. an n3 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

108**. an 2n n .

 

 

 

 

 

 

 

109**. a

1 n n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1 , x 4;
4 x
3, x 4.

Докажите, что последовательности являются монотонными и ограниченными.

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

110**. a

n 1 n .

 

n 1

 

n

 

 

 

 

111**. an

 

 

 

.

 

 

 

 

 

n2

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

Исследуйте функцию на непрерывность, классифицируйте точки разрыва (если они существуют). Постройте схематически график.

 

x2 2x

, x 2;

 

 

 

 

x 2

112.

y

 

 

 

0, x 2.

 

 

arctg

113*. y

 

 

3x 1

, x 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

114.

y x 3

 

 

 

 

 

 

5, x 3.

 

 

 

 

 

x2 3x

, x 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

115.

y

 

 

 

 

 

 

 

 

1, x 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

116.

 

 

 

 

 

 

 

, x 2;

 

 

 

 

 

 

y x 2

 

 

 

 

 

0, x 2.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

117. y x 2

x 2

 

 

 

 

5

x 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

, x 0 и x 2;

 

 

 

 

x2 2х

 

 

 

 

118.

y

 

3, x 0;

 

 

 

1, x 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

119*.

y

x

x 0

 

 

2

x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

120**. y

xsin

 

x 0

 

 

 

 

0 x

x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

x 0

121.

y x2

1

x 0.

 

 

x

 

x 1

122.

 

3

 

 

 

 

 

y

 

 

x 1.

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

123.

y x 4

 

x 2

 

3х

8

 

x

2.

Числовые ряды

Используя определение, исследуйте ряды на сходимость. Для сходящихся рядов найдите суммы.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

124**.

 

.

 

 

128. 2n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

125**.

 

 

1

 

.

 

129*.

3

2

 

.

 

 

n 1 n n 2

 

 

 

n 1

 

6n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

5

n

126**.

 

1

 

 

.

130*.

 

2 3

 

.

 

 

3n 2

3n 1

 

 

15n

 

n 1

 

 

n 1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

127.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Исследуйте ряды на сходимость.

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

131.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

1000n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

132.

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

133.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

3n2

2n

 

 

 

 

n 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

134.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

n 5 2

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n4 2

 

 

 

 

 

 

 

 

135.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

5n2

2n

4

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

136. cos

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 n

 

 

 

 

 

 

137*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

n3

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1 n

 

 

 

 

 

 

138*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg n 3

 

 

 

 

139*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n5 2n 1

n 1

 

 

 

 

 

sin

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

140*.

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 sin n

2

 

 

 

 

 

 

141*.

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 n

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

142*.

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2 1

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

cos n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

143*.

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

144*. arcsin

.

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10n 5

 

 

 

 

145.

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

n 1

n3 3n

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

146.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 5

 

 

 

 

 

147.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

10 n 20

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

148**. tg5

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

n 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

149*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

n2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

100

3

 

 

 

150*. 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 2

 

 

n

3 11

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

151.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2 1

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

152*.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

2

 

 

 

 

 

 

n 1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

153.

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

154.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n3 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

155.

 

 

n 1 !

 

.

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

156.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5n

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

157.

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4n 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

158**.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

1 !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

159**.

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

2n !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

160.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

1 5n

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

n 1

161**. .

n 1 nn

5n 4 n

162. .

n 1 3n2

 

 

2n

1

 

n n 1

 

 

 

 

 

163*.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

1

 

n 1

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n 5

 

 

3n2

 

 

 

 

 

164*.

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

7

 

n 1

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

n2

165*.

 

 

 

1

 

 

 

.

2n

 

 

 

n 1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

166. 2n 5 2n .

n 3 n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

167*. arcsinn

 

 

.

 

 

 

4n 25

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5n2

4

n

 

168.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3n

 

4

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5n3 1

 

n2

 

169*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2n

5

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

3n

1

 

n2

 

 

 

 

 

 

170*.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

1

 

 

n 1

4n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

171*.

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследуйте ряды на абсолютную и условную сходимость.

 

cos 3n 1

 

 

 

 

1

n

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

172.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

178.

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

3n2 3

 

 

 

 

 

 

n 1 n 3n 2

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2n 1

 

 

173.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

179.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

n3 5

n 1

 

 

 

n 5 2

 

 

 

 

1

n 1

 

 

3

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

174.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

180*.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

6n 4

n 1

2 !

 

 

 

 

 

 

 

1

n 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

175.

 

 

 

 

n2 .

181. 1 n

2n

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

n 5

n 1

 

5

 

 

 

 

3n

 

 

 

 

 

 

n n n 1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

176. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

182*.

 

n 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n 1

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

177.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

183*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n 1

n 5 3

n 1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислите сумму ряда с точностью .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

184. 1 n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 0,01.

186.

 

 

 

 

 

 

, 0,001.

 

 

 

 

 

2

2n 3

 

 

 

n 1

1

n 1

3n

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

185.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 0,01.

187. 1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 0,001.

 

n!

 

 

 

n! 2n 1

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Вычислите производные функций.

 

y 2х2

1

 

33

 

 

188.

 

х 10 .

х

 

 

 

 

 

 

 

 

189.

y

2х 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

190.

y 3х 5tg x .

 

 

191.

y 2х arctg x .

 

 

192.

y

arctg x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

193.y arcsin x . x3 3x

194.y х2 . arctg x

195.

y

3

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

196.

y

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

log2 x

 

 

 

197.

y

 

 

 

8х

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 х2

 

 

 

198.

y x ln x arcsin x .

199.

y

 

 

7х2 3х

.

 

 

 

 

log2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

200.

 

 

arctg x .

201*. y ln tg 2x 1 . 4

202.y 5x3 9 tg x .

203.y 12 arcsin 2x .

204.y x3 sin x log32 x .

205.

y

3cos2

х

.

x2 7x

2

 

 

 

206.y arctgarctg 2x .

207.y е8х2 3 сtg x .

208*.

y ln

1 x2

.

 

 

 

1

x2

 

 

 

209.y sin 2x cos2 x .

210.y 12 tg2 x 16 tg3 2x 12 tg 2x .

211.y 3x cos3x .

212*. y tg8 8x .

213*. y ln x x2 3 .

214.y ln x 2 .

x2

215*. y 3cos2 x . 216*. y ln 2sin2 x .

217.

y

1

 

 

 

arctg

 

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

218.

y

1

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

x

3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

2

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

219.

y ln ln x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ln

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

220.

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2

 

 

 

 

 

 

.

221*. y ln

 

 

 

9x4 1

 

 

1

 

x

 

 

 

 

 

arcsin x .

222.

y

1 x2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

223.

y

1

ex2

sin 2x cos 2x .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

224.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

 

 

 

 

 

 

 

x

225*. y

1

sin3 x2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

226*. y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

9

 

y

23x

2

 

ln sin x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

227.

 

 

234**. y x 1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

228.

y

 

 

 

 

 

 

 

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

235**. y x2 1 sin x .

 

 

 

xe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

229*. y lnsin 3x 2 .

 

 

 

 

x 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

e x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

236**. y

3 х 1

230.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5 3

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

arcsin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х x2 1

231*. y

ln 1 x2 .

237**. y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1 2

232**. y ln arctg

1 x2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

233**. y sin x cos x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

238**. y

 

 

хsin x

1 ex

Найдите производную функции y f х в точке х0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

239.

y

arccos 4х

, x 0 .

241.

y е8х 5х2 sin 3х, x0

 

 

 

 

 

 

 

 

8x 1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

log2 х

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

242.

, x0

240.

y

 

 

 

5х

2

3х

2, x0 1.

 

 

 

x2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдите производные второго порядка функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

243.

y sin2 х .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

х 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

246.

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

244.

y

 

 

 

 

3

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

247.

y arctg x .

 

 

 

 

 

 

 

3x2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

245.

y tg x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

248.

y 25х 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

.

0 .

Найдите указанные производные.

 

249.

y х ln x ,

y .

251*. y arcsin x , уIV .

250.

y xе х ,

у .

 

Найдите производные n -го порядка функций.

252.

y sin х .

 

254. y 2х 2 х .

253.

y ln x .

 

 

255. Покажите, что функция y ех 2е2х удовлетворяет уравнению

 

 

 

 

y

6y

11y 6y 0 .

 

256*. Исследуйте функцию y

 

x 3

 

на дифференцируемость в точке x 3,

 

 

используя определение дифференцируемости функции в точке.

257**. Исследуйте функцию y

 

ln x

 

 

на дифференцируемость в точке x 1, ис-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пользуя определение дифференцируемости функции в точке.

10