Соломонцев Ю.М. Теория автоматического управления

Рис. 2.30. Структурная схема ваыкнутой САУ

от р (левая часть — полиномвторой степени, правая — нулевой).

или сходящаяся, необходимо решить уравнение только собствен-

Для примера, приведенного на рис. 2.30, характеристическое

плексным числом.

Комплексные корни характеристического уравнения всегда

71

f' Ус

Рис. 2.31. Кривые, характеризующие переходные процессы для различных пар корней:

а — корни вещественные: б — корни комплексно-сопряженные с отрицательной веще-

е±а'', параметры которой изменяютсяот — 1 до +1 1 криваяAte±<x'' — показывает, как во времени изменяется амплитуда (рис. 2.31). Для

79

оценки устойчивости надо определить lim д0 (С). Возможны случаи:

1-мв

1) если все щ < 0, то lim y0 (f) = О и, следовательно, система

/-••00

асимптотически устойчивая; 2) если все at < 0, но среди корней имеются нулевые или чисто мнимые корни, то lim у, (f) стре-

t-+aa

мится к некоторому установившемуся процессу, определяемому

возникают в системах с кратными корнями. Если кратный корень нулевой или чисто мнимый, система оказывается неустойчивой.

Вывод: необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем: среди корней характеристического уравнения отсутствуют нулевые и чисто мнимые корни; вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательные.

Критерии оценки устойчивости линейных САУ

Прямой метод анализа устойчивости систем, основанный на вычислении корней характеристического уравнения, связан с необходимостью определения корней (вычисление корней просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степени). Существуют общие выражения для корней уравнений третьей и четвертой степеней, но эти выражения громоздки и практически мало пригодны. Что же касается уравнений более высоких степеней, то для них вообще невозможно написать общие выражения для корней через коэффициенты характеристического уравнения. Поэтому весьма важное значение в инженернойпрактике приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только установить, устойчива или нет система, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.

Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические (Рауса и Гурвица), основанные на анализе коэффициентовхарактеристического уравнения, и частотные (Михайлова, Найквиста), основанные на анализе частотных характеристик.

Замечание: частотные критерии позволяют оценивать устойчивость системы, даже если имеются в наличииэкспериментальные частотные характеристики, а, точнее, уравнение динамики неизвестно.

Алгебраический критерий Гурвица. Этот критерий позволяет, не решая уравнения, сказать, где на комплексной плоскости расположены его корни. Из коэффициентов характеристического

73

— |ЛС? — 4СоС1/2С0. Возможны варианты, если оба корня (A,i и А*'

вещественные: а)С?> 4СоС2 — корни только вещественные, если

Вывод: для устойчивой системы второго порядка все коэффи-

циенты характеристического уравнения должны иметь один и тот же знак.

3. Система третьего порядка. Характеристическое уравнение С0А,3 + CiX* + С4А, + Са — 0. Главный определитель

С8

С, >0, если С0>0.

ОСх С,

Так как младший диагональный минор At == Clt то по Гур'-

76

5. Система пятого порядка. Характеристическое уравнение СгЯ« + С4А," + С,Я2 + С.Я, + Сь = 0.

при условии, что С0 > 0.

Если раскрыть определитель А5 и исследовать его диагональные миноры, то для устойчивой системы пятого порядка необходимо соблюдение четырех условий: 1) С„ > О, Сх > О, С2 > О, С8 > О,С4 > О, С6 > 0; 2) СХС2 > С0С3; 3) ЭДСз + СйС£ь >

>С0Сз + С?С4; 4) CiC2C3C4 + 2C0C1C4CS + С0С2СзС3 >

Критерий Гурвица не дает возможности оценить запас устойчивости и быстроту затухания колебательного переходного процерса. Иногда его используют для определения тех значений како- го-либо параметра, при которых система остается устойчивой.

Коэффициенты характеристического уравнения системы определяют через параметры устройств системы. Если считать тот или иной параметр изменяющимся б, то, естественно, будут меняться определители системы, так как коэффициенты характеристического уравнения приобретают различные значения.

При графическом изображении зависимостей А/ от исследуемого параметра б можно определить области таких значений 6, когда все AJ оказываются положительными при С0 > 0 (рис. 2.32). При этом должно сохраняться постоянство значений других параметров, входящих в структуру определителей. В результате построения получим кривые для определителей Гурвица, число которых равно порядку характеристического уравнения системы. Расположение этих кривых относительно друг друга показывает допустимые границы изменения исследуемого параметра б без нарушения устойчивости системы. В устойчивой системе при всех значениях от бх до б, все определители и С0 больше нуля.

77

2.4. Таблица Рауса

C», i = s, i

, i-i —

Критерий Рауса удобен, когда заданы численные значения коэффициентов характеристического уравнения. В этом случае опре-

деление устойчивости можно выполнить быстро даже при характеристических уравнениях высокого порядка. Так как форма

алгоритма, с помощью которого составляют таблицу Рауса, .очень удобна для программирования на ЭВМ, то критерий Рауса широко

применяют при исследовании с помощью ЭВМ влияния на устойчивость либо коэффициентов характеристического уравнения, либо отдельных параметров системы.

Критерий Найквиста. САУ устойчива в замкнутом состоянии, если годограф разомкнутой системы не охватывает точки с коор-

— —У (0. т-е- обратная связь обеспечивает подачу на вход сигнала, фаза которого (речь идет о гармоническом процессе) обратна

фазе выходного сигнала. Тогда при условии, что на частоте соср

сигнала ТСр (/а>ср) — —1 = —е/я» входной и выходной сигнал имеют одинаковые амплитуды, но сдвинуты по фазе на 180° (т. е.

на л радиан). Таким образом, раз возникшее колебание будет существовать без изменения амплитуды. В самом деле, сигнал как бы лишь дважды смещается по фазе, каждый раз по 180°; результирующий сдвиг на входе системы равен нулю, ослабления амплитуды нет.

79

t

Рис. 2.34. Определение устойчивости по критерию Найквиста:

/ — астатическая устойчивая САУ «етвертого порядка; 1 — астатическая неустойчивая САУ третьего порядка. 3 — статическая устойчивая САУ третьего порядка; 4 — ст«т>- ческая неустойчивая САУ четвертого порядка

Рис. 2.35. Физическое представление критерия Найквиста

Очевидно, годограф разомкнутой системы на частоте сос пересекает ось действительных величин в точке (—1, /0). Когда модуль

пор, пока из-за присущей системе нелинейности не наступит ограничение, при котором модуль коэффициента усиления станет равным 1. При расходящемся процессе на вход по тракту обратной связи поступает все больший сигнал, так как система всякий раз

вход потракту обратной связи, всегда меньше сигнала того уровня, который на входе вызвал его появление.

Рассмотрим несколько годографов, характер переходного процесса и фрагменты ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 2.36).

1. Годограф не охватывает точку (—1, /0) (рис.2.36, а), запас по фазе ф3 = ф + я; > 0, так как —я < ф <C 0. Система устойчива, колебательный процесс затухающий. На частоте, при которой модуль комплексного коэффициента усиления равен единице, фазовый угол ф < п, т. е. имеется некоторый запас по фазе. Там, где ЛФЧХ проходит через значение ф = —я, она находится в области отрицательных значений; ординату ЛАЧХ, где ф = —я, называют запасом по амплитуде.

2. Годограф проходит через точку (—1, /0) (рис.2.36, б), Фв = ф + я = 0, так как ф = —я. Возникший колебательный процесс может существовать сколь угодно долго, амплитуда колебаний сохраняет свое значение, определяемое высотой начального импульса неизменным. Такую систему называют консервативной. ЛАЧХ пересекает ось частот там,где ф = —я, т. е. запас по фазе и амплитуде отсутствует.

80