Соломонцев Ю.М. Теория автоматического управления

пренебрегают по сравнению с единицей. Так как lg 1 = О, то в области низких частот L2« —0. Знак «—» имеет определенный смысл: строго говоря, характеристика проходит не на нулевом уровне, а в области отрицательных значений. В области частот, где о>Г > 1, а а>*Г > 1 и L2 « —201g u>T = —201g <o —20 IgT, получаем уравнение прямой, так как аргументом является вели-

чина lg со. Величина L2 = —0, т. е. L2 = £1. если lg соГ = О, а шТ = 1.

Таким образом, прямые Lt и L2 сопрягаются там, где со0 = \/Т- Эту частоту принято называть частотой сопряжения. Поскольку прямая L2 определяется точкой с координатами L2 = 0 и о>с = 1/Г, то для ее построения достаточно определить угловой коэффициент

Для определения наибольшей ошибки, получаемой при замене точной ЛАЧХ (£т) асимптотической, определим AL при частоте ю0. В этом случае ордината асимптотической ЛАЧХ La = 20lg К, а ординату для точной ЛАЧХ определяют из условия, что соГ = 1,

Ф = arctg Im/Re = arctg (—соГ) = —arctg соГ. При <о = 0 ф = О,

ного сдвига фаз,но в области высоких частот это звено вносит отставание по фазе, стремящееся к —л/2 рад (—90°). Если входная координата — единичная функция, изображением которой явля-

оригинал у (t) = К (1 — е~//г). На рис. 2.21, в представлено графическое изображение этой функции. Кривая — экспонента, асимптотически приближающаяся к прямой с ординатой, равной /С-

Когда необходимо определить постоянную времени Т, можно, сняв кривую переходного процесса, например, осциллографированием, по ней определить значение Т. Оказывается, что касательная, проведенная к снятой кривой из начала координат, отсекает на прямой /С отрезок, равный Т. В самом деле, из треугольника

угла наклона касательной, поэтому tg а = dy/dt = К. (1/р) е~'/г и при t = 0 tg а = К/Т. Отсюда Ob = K/tg a = Т, но Ob = Ка,

следовательно, /Са — Т.

; j 1т,

0

-20дВ/дек

IfCJ

(fl

о

Рис. 2.22. Характеристики интегрирующего эвена:

а — амплитудно-фазовая; б — Л А Ч Х н ЛФЧХ; в - переход-

Годограф представляет собой прямую, совпадающую с осью отрицательных мнимых величин (рис.2.22, а). Модуль комплексного усиления | К, (/со) | = К/в> и аналитическое выражение для ЛАЧХ L = 201g/С/со = —201g <лТ, где Т = \/К. ЛАЧХ (рис. 2.22, б) представляет собой прямую, пересекающуюся с осью lg ю на частоте о> = 1/Т = К. Наклон прямой равен —20 дБ/дек. Так как выражение для комплексного коэффициента не содержит

проходящая через начало координат с угловым коэффициентом К (рис. 2.22, в).

Примерами интегрирующего звена являются гидравлический демпфер (рис. 2.23, а), поршень под действием силы Р перемещается, и жидкость через отверстие в поршне перетекает из правой части в левую. Тогда v — dx/dt — Ра, где а — коэффициент

оо

сопротивления, дг = (1/а)| Р dt. В редукторе (рис. 2.23, б) вход-

ной величиной является частота вращения пвх входного вала, выходной — угол поворота авых выходного вала. В электрическом двигателе можно пренебречь электромеханической постоянной времени и механической постоянной ротора; входом считается напряжение питания, а выходом — угол поворота вала ротора.

жение для комплексного к уфициента усиления принимает вид К (/») = со»Г*/(1 + соТ») + /со77(1 + со8Г), где Re = о>*Га/(1 + + ш1?4), Im - <o7Y(l + <о*Т*).

Годограф звена располагается в первом квадранте комплексной плоскости, так как при всех значениях со Re > 0 и Im > 0, и представляет собой полуокружность радиусом г = 1/2 с центром в точке А с координатами (1/2, /0) (рис. 2.24, б). Из анализа годографа видно, что при изменении частоты от нуля до бесконечности модуль меняется от нуля до 1, а фаза пробегает все значения от +Л/2 до 0 (при to = \1Т фазовый угол равен 45°).

модуль отношения двух векторов равен отношению модулей этих векторов: | К (/со) | == |/соТ|/|1 + /соТ | =шГ/>/ 1 + а*Т*. Тогда L =

Слагаемое £г графически можно изобразить в видебесконечной прямой, идущей »с наклоном +20 дБ/дек, и пересекающей ось абсцисс в точке to = 1/Т. Второе слагаемое L2 в области низких частот (to Г < 1) графически представляет собой прямую, практически совпадающую с осью абсцисс, а в области высоких частот при соГ > 1 — прямую с наклоном — 20 дБ/дек., прямые сопря-

сосью абсцисс.

По с т р о е н и е ЛФЧХ. Известно, что при умножении векторов их аргументы складывают, а при делении — вычитают. Так как комплексный коэффициент усиления — вектор, определяемый

Результирующая фазовая характеристика определяется суммой двух характеристик, одна из которых не зависит от частоты и равна л/2, а другая — частотно зависима. В области низких частот звено вносит опережение, близкое к я/2, а в области высоких частот фазовый угол стремится к нулю.

Идеальное дифференцирующее звено. Связь между входной и выходной координатой имеет вид у (t) = Tdx/dt, т. е. выходная координата в некотором масштабе, определяемом величиной Т, равна первой производной от входной координаты. В идеальном дифференцирующем звене выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины. Такое звено представлено на рис. 2.25,а, где выходное сопротивление близко к нулю.

чает, что первая производная при этом равна нулю; в момент, когда t = 0, функция скачком меняется от 0 до 1, а первая производная, определяющая тангенс угла наклона касательной, становится равной бесконечности, так как угол наклона касательной равен я/2 (рис. 2.25, б). Получение всплеска выходной координаты до значения, равного бесконечности, с помощью пассивных элементов невозможно и теоретически такой всплеск возможен лишь при наличии некоторого «резервуара» неограниченной мощности.

Так как комплексный коэффициент усиления К (/«) = /шТ, то годограф представляет собой прямую, совпадающую с осью положительных значений мнимых величин и простирающуюся от /О до /оо (рис. 2.25, в).

ЛАЧХ — бесконечная прямая с наклоном +20 дБ/дек., ЛФЧХ — прямая, параллельная оси lg ш с неизменной ордина-

улучшения работы системы. Часто используют электрическую схему, которая обладает свойствами дифференцирующего звена,

ной плоскости. И действительно, годограф представляет собой полуокружность с центром в точке А с координатами 1(1 + К)/2; /01 (рис. 2.26, б).

П о с т р о е н и е ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 2.26, в). Известно, что модуль отношения векторов равен отношению модулей векторов. Аналитическое выражение для ЛАЧХ: L = 201g | К (1 +