Соломонцев Ю.М. Теория автоматического управления

Рис. 2.9. Перенос сумматора:

нию прохождения информации необходимо добавить звено с передаточным коэффициентом, равным передаточному коэффициенту звена, через которое переносится сумматор (рис. 2.9, б). Если сумматор переносится против направления прохождения информации, то необходимо добавить звено с передаточным коэффициентом, равным обратному передаточному коэффициенту звена,

Сущность моделирования

Свойства любой системы проявляются в процессе ее функционирования. Для определения этих свойств следует подать на входы некоторые возмущающие воздействия ипроанализировать выходы системы. Однако почти всегда проведение таких экспериментов с реальной системой экономически невыгодно, а с проектируемой системой невозможно. В связи с этим эксперименты для изучения свойств системы проводят не с реальными системами, а с их моделями.

31

вания можно использовать естественный язык, язык чертежей, схем, математический язык и др.

Описание объекта или процесса, выполненное на математическом языке, называют математической моделью. В простейших случаях для этой цели используют известные аналоги между механическими, электрическими и другими явлениями. Математические модели отличаются тем, что средством описания моделей и изучения их поведения является формальный аппарат математики. Отсюда следует важное преимущество — широкая возможность количественного анализа моделей с помощью современных математических методов. Другое важное преимущество математических моделей — универсальность языка математики, возможность использовать одни и те же модели для исследования физически различных систем.

Например, уравнение движения материальной точки в поле тяготения представляет собой модель чрезвычайно широкого класса реальных явлений. Эта модель описывает как движение планет солнечной системы, так и полет ракеты. Еще одно полезное свойство математических моделей — возможность получать результаты, относящиеся не к отдельной конкретной реализации, соответствующей определенным начальным данным и фиксированным значениям параметров исследуемой системы, а сразу для целого множества возможных видов поведения системы.

По форме описания абстрактных моделей выделяют аналитические математические модели — модели, в которых связи между объектами характеризуются отношениями-функциями (алгебраическими, дифференциальными и др.), позволяющими с помощью соответствующего математического аппарата и, как правило, с применениемЭВМ сделать необходимые выводы о системе и ее свойствах, провести оптимизацию искомого результата. Наиболее существенная характеристика аналитических моделей заключается в том, что модель неадекватна объекту моделирования. Аналитическое математическое моделирование помогает относительно быстро получить результат, но накладывает определенные ограничения на модель системы.

Методы описания процессов в САУ

В теории автоматического управления рассматривают математическую модель САУ, т. е. модель, которая получается в результате математического описания системы. Для получения математического описания САУ обычно составляют описание ее отдельных элементов. В частности, для получения уравнений САУ составляют уравнения каждого входящего в него элемента. Совокупность полученных уравнений и дает аналитическое описание САУ. При получении математического описания исходят из противоречивых требований. С одной стороны, математическая модель должна как можно полнее отражать свойства оригинала,

а с другой стороны, быть по возможности простой, чтобы не услож-

Описание процессов с помощью дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения являются основным математическим аппаратом линейных детерминированных систем. Необходимость использования этого аппарата обусловлена тем, что большинство физических элементов САУ обладают свойством в одни моменты времени накапливать, а в другие моменты времени отдавать энергию и различные вещества. Например, процесс резания, сопровождающийся упругими деформациями элементов технологической системы при наличии трения и инерционных масс, может быть описан определенными дифференциальными уравнениями.

В общем случае при осуществлении движения поДачи в технологической системе появляются силы, вызывающие деформации; детали системы в процессе резания стремятся вернуться в свое исходное состояние, преодолевая при этим силы сопротивления вязкой среды. Наличие масс и нелинейностей усложняют рассмотрение протекания процесса, однако, как выяснилось, влиянием масс можно в ряде случаев пренебречь. При этом условии процесс в основном определяется упругими деформациями и вязким трением.

С известной степенью приближения при малых отклонениях технологическая система может быть линеаризована, если в ней нет существенных нелинейностей, например зазоров, свободного хода и др. При оценке динамических свойств системы в качестве входной величины удобно рассматривать подачу режущего инструмента. Выходной величиной могут быть различные перемещения, что подсказывается удобством встраивания первичного

чувствительного элемента—датчи-

34

где m — приведенная масса; п — коэффициент демпфирования; /п — жесткость подсистемы; Р (/) — изменение силы резания;

К — коэффициент пропорциональности.

Используя преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, это уравнение приводят к виду

Звенья системы станка представляют в виде передаточных функций. Строят частотные характеристики на основе передаточной функции с заменой параметра р на /со, где/ — мнимая единица; ш — частота. Для передаточной функции W (р)частотная характеристика имеет вид

После разделения на действительную и мнимую части передаточная функция примет вид

Математическое описание динамики САУ обычно производится путем составления системы дифференциальных (иногда интегродифференциальных) уравнений. Строго говоря, любая реальная

динамическая система является нелинейной. Однако большинство непрерывных систем управления могут быть линеаризованы, т. е.

заменены приближенно эквивалентными системами, переходные процессы в которых описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Такие системы управления принято называть линейными.

Линеаризация исходных систем основывается на методе малых отклонений. Сущность этого метода заключается в том, что динамические свойства системы управления исследуются не во всем возможном диапазоне изменения переменных систем, а вблизи их некоторых значений, соответствующих характерным режимам работы (например, установившимся режимам).

37

отклонение координат, имеет силу для малых измененийкоординат и в отличие от исходного относится к классу линейных обыкновенных уравнений, анализ которых существенно проще. Это главное

преимущество, которое дает линеаризация.

Описание процессов через передаточные функции. Дифференциальное уравнение звена САУ в общем виде запишем так:

.+ to, (2.4)

где у — выходная величина звена (в отклонениях от состояния равновесия); х — входная величина звена (в отклонениях от состояния равновесия); а„, ап_ь ..., аь а0, bm, bm-lt ..., Ьь Ь0 — постоянные коэффициенты, определяемые конструктивными особенностями и параметрами звена.

Так как аналитическое решение дифференциального уравнения в общем случае является трудоемкой задачей, то в современной теории управления широко используют средства описания динамических свойств системы через преобразование Лапласа, что удобнее для практического применения.Основанием для этого служит

то обстоятельство, что такое преобразование существенно облегчает исследование сложных систем, заменяя дифференциальные уравнения алгебраическими. В частности, при решении дифференциальных уравнений систем преобразование Лапласа позволяет

легко учитывать начальные условия и избежать сложных выкладок, связанных с вычислением постоянных интегрирования. Достаточно просто решаются также неоднородные уравнения, позволяющие учитывать влияние возмущений на динамику процессов.

39

Если в уравнение (2.4), содержащее функции времени у (t) и х (t), ввести функции х (р) и у (р) комплексного переменного р, поставив условием, что эти функции связаны зависимостями

Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называют преобразованием Лапласа, интеграл (2.5) — интегралом Лапласа, комплексное переменное р — оператором. Сообразно с этим алгебраическое уравнение (2.6) является записью исходного дифференциального уравнения (2.4) в операторной форме.

Функцию у (р) называют изображением функции у (t), а функцию у (t) — оригиналом функции у (р). Операция перехода от исходной функцииу (t) к ее изображению у (р) (нахождение изображения по оригиналу) называют прямым преобразованием Лапласа. Математически прямое преобразование Лапласа записывают условно с помощью символа L [у (t) ] = у (р). Операцию перехода от изображения у (р) к искомой функции у (t) (нахождение оригинала по изображению) называют обратным преобразованием Лапласа. Математически обратное преобразование Лапласа записывают с помощью символа L"1 [у (р)] — х (t). Практически переход от дифференциального уравнения к алгебраическому происходит без каких-либо вычислений.

Если сравнить уравнение (2.4) с уравнением (2.6), то. нетрудно заметить, что формально переход от дифференциального уравнения к алгебраическому операторному уравнению при нулевых началь-

ственно символами р", рп~1, ..., р и функций у (t) — их изображениями у (р). С оператором р можно, как и с другими членами алгебраического уравнения, производить различные действия (умножение, деление, вынесение за скобки и т. д.). Возможность записи дифференциального уравнения в операторной алгебраической форме значительно упрощает все расчеты.

Каждое звено САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.4). Следовательно, при выводе диффе-

1 Нулевые начальные условия для дифференциального уравнения п-го порядка характеризуются тем, что для 1 = 0 значения самой функции у (t) и всех ее производных равны нулю.