Соломонцев Ю.М. Теория автоматического управления

ренциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших порядков. Запись дифференциальных уравнений в операторной форме

изображений функций, или графическимпутем. Кроме того, запись дифференциальных уравнений звеньев системы в операторной форме дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей звено системы. С помощью передаточных функции расчет САУ еще более упрощается и становится доступ-

ным широкому кругу инженеров, не требуя применения сложного математического аппарата.

Вынесем в уравнении (2.6) у (р) и х (р) за скобки и получим

(апрп + an-iPn~l -\ ----- h <*iP + а0)У (Р) =

Определим из уравнения (2.7) отношение изображения выходной величины к изображению входной

Отношение W (р) изображения выходной величины системы к изображению его входной величины называют передаточной функцией системы. Соответственно отношение изображения выход-

При рассмотрении типовых динамических звеньев часто встречаются функциональные зависимости, приведенные на рис. 2.12. Определим лапласово изображение этих функций.

Изображение единичной функции х (0 = 1 :

41

2.2. Преобразование Лапласа для функций, часто встречающихся в задачах управления

Преобразования Лапласа, часто используемые при расчетах САУ, приведены в табл. 2.1 и 2.2.

Типовые динамические звенья

САУ может состоять из устройств, работающих на самых различных принципах. Нередки сочетания, когда в системе наряду с механическими устройствами (например, редуктором) имеются электромеханические, (электродвигатели, реле, электромагниты и др.),гидравлические электронные и другие устройства. Независимо от физических принципов их работы все многообразие устройств, используемых в САУ, с точки зрения теории автоматического управления, может быть сведено к сравнительно небольшому числу так называемых типовых динамических звеньев.

43

Рис. 2.13. Линейная САУ под воздействием гармонического возмущения

оператора (порядок старшей производной) — нулевой, первый и второй. Второй признак — вид собственного оператора. По этому признаку введены следующие типовые звенья: усилительное (про-

Частотные характеристики. Важную роль при описании линейных стационарных систем (звеньев) играют частотные характеристики, широко используемые при анализе и синтезе САУ (применительно как к отдельному звену, так и к системе в целом).

Если на вход линейной разомкнутой системы или звена подать гармоническое возмущение (рис. 2.13), то по истечении некоторого времени после подачи такого возмущения, когда затухнут все движения, определяемые переходным процессом, на выходе звена или системы установится также гармоническое изменение выходной величины с той же частотой, которую имеет входная величина, но с иными амплитудой и фазой. Амплитуда и фаза на выходе при прочих равных условиях будут зависеть от частоты возмущающего воздействия. По этим характеристикам можно судить о динамических свойствах не только звеньев, но и сложных замкнутых САУ.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: реакция системы на несколько одновременно .действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет ограничиться изучением систем только с одним входом.

Рассмотрим несколько понятий, связанных с частотными характеристиками. Периодическое гармоническое возмущение в

процесса. По истечении переходного процесса на выходе разомкну-

той системы установятся вынужденные периодические колебания, определяемые выражением у (t) = Уе< (шНч>) = уе''й)'е'Ч).

По определению комплексный коэффициент усиления К. (/о>) получают из передаточной функции W (р) при подстановке в нее

45

= >/"Rea -f imr, а фаза ф = arctg (Im/Re) отсчитывается от действительной оси.

При непрерывном изменении частоты происходит изменение модуля и фазы вектора. Конец вектора описывает на комплексной

коэффициента усиления на комплексной плоскрсти при изменении

образованным этой прямой и положительной полуосью действительных величин (рис. 2.15).

При расчетах систем пользуются логарифмическойамплитудно-

частотной (ЛАЧХ) и логарифмической фазочастотной (ЛФЧХ) характеристиками. В этом случае по горизонтальной оси откладывают частоту в логарифмическом масштабе, что позволяет отложить на заданном отрезке значительный диапазон частот. Эта наиболее удобная форма представления частотных характе-

ристик для решения задач анализа и синтеза систем. Рассмотрим

(рис. 2.16). По оси абсцисс откладываем величину lg со. Ввводим

ffe

две единицы измерения: декаду, октаву. Декада — длина отрезка по оси абсцисс, соответствующая десятикратному изменению

= 10 000 с"1 содержит четыре декады, так как lg 10* = 4. Первая декада — от 1 до 10 «г1, вторая — от 10 до 100 с"1; третья — от 100 до 1000 с-1 и т. д. Октава — длина отрезка по оси абсцисс, соответствующая двухкратному изменению частоты. В одной декаде содержится 3,32 октавы. Декадный интервал применяют чаще.

Фазу обычно откладывают по оси ординат в угловых градусах или в радианах. Ординатой амплитудно-частотнойхарактеристики является не величина lg К. (со), а пропорциональная ей величина L (ю) в децибелах, L (ш) = 20 lg К (с*) (шкала равномерная). Точка пересечения с осью абсцисс соответствует К. (со) = 1.

Использование логарифмического масштаба при построении ЛАЧХ обусловлено не столько значительными изменениямимодуля комплексного коэффициента усиления, сколько возможностью осуществления графических методов расчета. При расчетах САУ часто приходится иметь дело с произведением коэффициентов усиления. А так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, то при графических расчетах для получения произведения нескольких значений весьма удобно осуществить сложение их логарифмов. Удобство логарифмического масштаба по оси ординат в том, что на одном графике можно представить значения, отличающиеся на несколько порядков.

Временные характеристики являются важными характеристиками САУ. Это переходные и импульсные переходные функции и их графики. В реальных условиях входные сигналы могут иметь произвольный характер. Для исследования динамических свойств элементов и систем следует выбрать такие типовые возмущения, которые по возможности близко отражали бы наиболее существенные особенности реальных возмущений.

В теории САУ для определения динамических свойств звеньев (системы) в качестве входного сигнала применяют следующие типовые функции (рис. 2.17): единичный скачок (ступенчатая функция, например, подключения напряжения к звену или системе, начало обработки на станке, возмущения в виде ударов в механических системах и др.); единичный импульс (как правило, шумы, помехи); гармонический сигнал; степенные функции времени (линейные, квадратичные и др.).

47

t о

Рис. 2.17. Типовые функции входного сигнала

Переходная функция системы (звена) — функция, описывающая изменение выходной величины системы (звена), когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Переходную функцию обычно обозначают какЛ(0- Иначе, переходная функция h (t) — функция, описывающая реакцию системы (звена) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. График переходной функции называют переходной характеристикой.

Импульсная переходная функция системы (звена) — функция, описывающая реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. График импульсной переходной функции называют импульсной переходной харак-

e)

x(t) y(t)

Рис. 2.18. Условное изображение типовых динамических звеньев:

а — пропорциональное; б — инерционное: в — интегрирующее: « — идеальное дифферевцврующе'г; д — реальное дифференцирующее; « — реальное дифференцирующее со статнзмом; ж — колебательное; з — запаздывающее

АЛ

предположить, что входной функцией является единичный скачок, то очевидно, что переходная функция h (t) = 0 при t < 0 и h {t) = = К при t > 0 (рис. 2.20, а), так как х (t) = 0 при t < 0 и х (t) = = 1 при t >• 0, т. е. переходная функция повторяет входную, но ордината будет в К. раз больше. Комплексный коэффициент усиления К (/со) = /С- Так как комплексный коэффициент усиления содержит только действительную часть, равную К, а мнимая равна

Годограф звена (рис. 2.20, б) представляет точку на комплексной плоскости, расположенную на оси действительных величин на расстоянии, равном К- Интерпретация годографа: с изменением частоты от нуля до бесконечности модуль вектора комплексного коэффициента усиления не меняется и остается равным /С; звено не вносит каких-либо фазовых сдвигов, так как при всех значениях

Я

к

Рис. 2.20. Характеристики пропорционального звена:

а — переходная; б — амплитудно-фазовая; в — ЛАЧХ и ЛФЧХ

49