9. Дайте понятие производственной функции, перечислите и прокомментируйте основные характеристики производственной функции.

Совокупный общественный продукт Y есть функция за­трат живого труда L, капитала К и природных ресурсов N: Y =f[L, К, N).

Такого рода математические зависимости получили название «производ­ственные функции выпуска». Обратные математические зависимости L=f{Y), K=f{Y), N=f{Y) получили название функции производственных издержек.

При построении производственных функций рекомендуется соблюдать нижеперечисленные требования:

• все входящие в производственную функцию величины должны быть измеримы;

• выпуск продукции возможен лишь при определенных затратах ре­сурсов;

• все виды ресурсов, включенные в производственную функцию, должны быть использованы: при отсутствии хотя бы одного из них выпуск равен нулю (это требование не всегда соблюдается);

• в число аргументов производственной функции должны быть включе­ны все существенные для данного процесса производства факторы (очевидно, это условие не является однозначным);

• ресурсы в той или иной степени могут быть взаимозаменяемыми: в предельном случае — комплементарными, т.е. использоваться в строго опреде­ленных пропорциях;

• объемы выпуска продукции ограничены величиной любого из исполь­зуемых ресурсов;

• производственная функция должна опираться на соответствующую статистическую базу;

• производственная функция предполагается непрерывной и дифферен­цируемой, что является упрощающей гипотезой, не всегда отвечающей реаль­ности.

Модели, выражающие связь факторов, не следует на­зывать производственными функциями.

При определении производственных функций обычно используется осо­бый подход к решению вопросов формы связи, ориентированный прежде всего на физический смысл уравнения. Производственные функции, в отличие от обычных уравнений регрессии, используют для их дальнейшего математиче­ского исследования.

Основные характеристики производственных функций

Будем рассматривать производственные функции с одним продуктом и не­сколькими видами ресурсов. Функция выпуска в этом случае имеет вид Y=f{X), где Y— скаляр, а X = (x_l,x₂,...,x_i,...,x_n) — вектор и x_t >0, i = от1 до n. При этом бу­дем считать, что все входные переменные непрерывны, а результирующий по­казатель достаточно гладко меняется при изменении переменных.

Для определения основных характеристик сделаем ряд предположений, имеющих под собой определенное экономическое содержание.

Первое экономическое предположение состоит в том, что при отсутст­вии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно, т.е.

Y = f{x_l,x₂,...,x_i=0,...x_n) = 0.

Это предположение говорит о том, что невозможно даже при использова­нии взаимозаменяемых ресурсов один ресурс полностью заменить другим. Речь может идти только о взаимном дополнении (замещении) ресурсов в технологи­чески определенных интервалах их изменения.

Второе экономическое предположение связано с направлением измене­ния объемов производства в зависимости от изменения количества используе­мых ресурсов. Предполагается, что при увеличении производственных ресур­сов выпуск продукции не уменьшается, т.е.

f(x1)<=f(X2) при x1<=x2

В случае если f(xi) дифференцируема, то первая характеристика производст­венной функции может быть представлена следующим выражением: βi=ðf(x)/ðxi>=0,i=1 до n

Величина ði называется предельной эффективностью и характеризует отношение прироста выпуска продукции к малому приросту количества г-го производственного ресурса

Эффективность использования ресурсов можно определить не только предельной эффективностью в некоторых точках, но интегрированным показа­телем — средней эффективностью ресурсов, определяемой выражением

ri=f(x)/xi

Средняя эффективность обычно отличается от предельной эффективно­сти.

Определение численных характеристик βi -(частных производных по хi) в

точках {t1,t₂,..,t_n} позволяет исследовать сложившиеся тенденции измене­ния эффективности использования x_t -го производственного фактора. При этом точки {t1,t2,..,t_n} обязательно должны принадлежать экономически целесооб­разной области изменения x_t.

Третье предположение связано с тем, что в условиях чисто экстенсив­ного роста производства (в основном за счет привлечения дополнительных ре­сурсов) увеличение затрат лишь одного производственного ресурса приводит к снижению эффективности его использования. Например, непрерывный рост станочного парка без увеличения соответствующей численности работающих не приводит к пропорциональному увеличению объемов производства

Четвертое предположение ориентировано на то, что при пропорцио­нальном росте количества используемых ресурсов на величину X объемы про­изводства увеличиваются на эту же величину

Такие производственные функции получили название производственных функций с постоянной отдачей от расширения производства.

На базе сформулированных предположений определим еще ряд важных характеристик производственной функции:

• эластичность выпуска по ресурсам —

Ei(x)= xi*ðf(xi)/f(x)*ðxi

Этот показатель используется для определения процентного изменения объемов выпуска при изменении затрат соответствующего ресурса на 1 %.

• эластичность производства

E(x)=Σxi*ðf(xi)/f(x)*ðxi

Показатель эластичности производства показывает процентное изменение выпуска при расширении масштабов производства в точке х = {x_t}, i =от 1 до n,

на один процент и определяется как сумма эластичностей выпуска по отноше­нию к затратам различных ресурсов в этой точке. При Е{х)> 1 имеет место воз­растающая, при Е{х)=\ — постоянная, а при Е{х)<\ — убывающая отдача от расширения масштабов производства.

Следующей важной характеристикой производственной функции, позво­ляющей определять оптимальные пропорции развития производства, является предельная норма замещения ресурсов

γ(xi,xj)=ðxj/ðxi=-ðf(x)*ðxi/ðxj*ðf(x)

Данная характеристика показывает, сколько единиц x_t -го ресурса требу­ется для замещения одной единицы Xj -го ресурса при заданном объеме выпус­ка продукции. Знак минус говорит о том, что при уменьшении затрат одного ресурса необходимо увеличить затраты другого

Количественной характеристикой скорости изменения предельной нормы замещения вдоль изокванты является показатель эластичности замещения ресурсов. В общем случае эластичность замещения ресурсов приблизительно пока­зывает, на сколько процентов должно измениться соотношение ресурсов при движении вдоль изокванты, чтобы при этом предельная норма замещения из­менилась на один процент.