1.2. Основные теоретические сведения.
1. Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи на плоскости
1. Расстояние
между двумя точками
и
вычисляется по формуле:
.
2. Если
и
,
то координаты точки
,
делящей направленный отрезок
в отношении
,
вычисляются по формулам:
,
.
В частности, если точка
делит отрезок
пополам (
),
то
,
.
3. Если
,
и
– вершины 
,
то его площадь вычисляется по формуле:
.
Различные виды уравнения прямой на плоскости
4. Уравнение
прямой, проходящей через данную точку
в данном направлении
:
.
5. Уравнение
прямой с угловым коэффициентом:
.
6. Уравнение
прямой, проходящей через две данные
точки
и
:
.
Угловой коэффициент для такой прямой
.
7. Уравнение
прямой в отрезках на осях:
,
где параметры a
и b
равны величинам отрезков, которые прямая
отсекает от оси Ox
и Oy
соответственно.
8. Нормальное
уравнение прямой:
,
где параметр p > 0
равен длине нормали, проведенной к
прямой из начала координат,
– угол между нормалью и положительной
частью оси Ox.
9. Общее
уравнение прямой:
,
где A
и B
одновременно не равны нулю.
10. Чтобы
общее уравнение прямой
привести к нормальному уравнению, нужно
общее уравнение умножить на нормирующий
множитель
.
Знак перед корнем выбирается противоположным
знаку коэффициента
.
Расстояние от точки до прямой
11. Расстояние
от точки
до прямой
вычисляется по формуле:
.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости
12. Угол
между прямыми
и
вычисляется по формуле:
.
13. Условие
параллельности двух прямых: прямые
и
параллельны тогда и только тогда, когда
.
14. Условие
перпендикулярности двух прямых: прямые
и
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда
.
Кривые второго порядка
15. Окружностью радиуса R с центром в точке C(a; b) называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до центра С постоянно равно R.
16. Каноническое
уравнение окружности с центром в точке
и радиусом
:
(рис. 1).
17. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки F, называемой фокусом и от прямой L, называемой директрисой.
18. |
Уравнение параболы |
Фокус |
Директриса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 2)
Рис. 1 |
Рис. 2 |
19. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами (|F1F2| = 2c) есть величина постоянная, равная 2a > 2c.
20. Каноническое
уравнение эллипса:
(рис. 3). Точки
,
,
и
– вершины эллипса; отрезок
– большая ось, отрезок
– малая ось; параметры
и
– большая и малая полуоси; точки
и
– левый и правый фокусы; число
– эксцентриситет;
и
– левый и правый фокальные радиусы.
Параметры
,
и
связаны равенством
.
21. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами (|F1F2| = 2c) есть величина постоянная, равная 2a, где 2a < 2c.
22. Каноническое
уравнение гиперболы:
(рис. 4). Точки
и
– вершины гиперболы; отрезок
– действительная ось, отрезок
– мнимая ось; параметры
и
– действительная и мнимая полуоси;
точки
и
– левый и правый фокусы; число
– эксцентриситет гиперболы; левый и
правый фокальные радиусы для точек
левой ветви гиперболы равны
и
,
а для точек правой ветви гиперболы –
и
;
прямые
и
– асимптоты гиперболы. Параметры
,
и
связаны равенством
.
Рис. 3 |
Рис. 4 |
