5.2. Основные теоретические сведения.

1. Случайные события

1. Событие есть результат любого опыта или испытания. Случайным называется событие, которое может произойти, а может и не произойти при осуществлении данного комплекса условий. Событие называется достоверным, если оно появится всякий раз при осуществлении данного комплекса условий. Событие, которое заведомо не может произойти при осуществлении данного комплекса условий, называется невозможным.

Операции над событиями

2. Событие A влечет событие B (A подмножество B), если из того, что происходит событие A, следует, что происходит событие B; записывают A B.

3. Если одновременно A B и B A, то события A и B называются равными (эквивалентными); записывают A=B.

4. Противоположным (или дополнением) событию A называется событие (U\A), которое заключается в непоявлении события A.

5. Суммой (или объединением) событий A и B называется событие A+B (или A∪B), состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

6. Разностью событий A и B называется событие A–B (или A\B), происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие A, но не происходит событие B.

7. Произведением (или пересечением) событий A и B называется событие AB (или A∩B), состоящее в совместном появлении этих событий.

8. Свойства операций над событиями:

A+B=B+A (переместительное), AB=BA (переместительное),

(A+B)C=AC+BC (распределительное),

AB+C=(A+C)(B+C) (распределительное),

(A+B)+C=A+(B+C) (сочетательное), (AB)C=A(BC) (сочетательное),

A+A=A, AA=A, A+U=U,

A+V=A, AU=A, AV=V,

A+ =U, A =V, =V,

=U, =A, A–B=A ,

A–A=V, , (законы де Моргана).

Элементы комбинаторики

9. Правило суммы. Если из некоторого конечного множества первый объект (или элемент) x можно выбрать n способами, а другой объект y из того же множества можно выбрать m способами, то их сумму x+y (либо x, либо y) можно выбрать k=n+m способами.

10. Правило умножения. Если из некоторого конечного множества первый объект x можно выбрать n способами и после каждого такого выбора другой объект y из того же множества можно выбрать m способами, то оба объекта xy (и x, и y) можно выбрать k=nm способами.

11. Размещениями из n элементов по k элементов (0<k<n) называются выборки, которые отличаются друг от друга либо хотя бы одним элементом, либо их порядком в выборке. Число размещений из n элементов по k элементов обозначается символом и вычисляется по формуле .

12. Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n элементов, т. е. перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов в выборке. Число перестановок из n элементов обозначается символом и вычисляется по формуле .

13. Сочетаниями из n элементов по k элементов (0<k<n) называются выборки, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом и вычисляется по формуле .

Аксиомы теории вероятностей

14. Аксиома неотрицательности: с каждым событием A связывается число P(A), называемое вероятностью события A и удовлетворяющее условию 0P(A)1.

15. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единицы, т. е. P(U)=1.

16. Аксиома сложения: если событие A подразделяется на конечное число попарно несовместимых событий (A=A₁+A₂+…+A_n и A_iA_j=V при ij), то вероятность этого события равна P(A)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n) – принцип сложения вероятностей несовместимых событий.

17. Обобщенная аксиома сложения: если событие A подразделяется на бесконечную сумму попарно несовместимых событий (A=A₁+A₂+…+A_n+… и A_iA_j=V при ij), то вероятность этого события равна P(A)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)+…. .

18. Вероятность события A относительного события B называется условной вероятностью события A относительно B. Она обозначается P_B(A) или P(A|B) и вычисляется по формуле P_B(A)= при P(B)0. Так как зависимость двух случайных событий A и B всегда взаимна, то справедлива и другая формула P_A(B)= при P(A)0.

19. P(AB)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A). – принцип умножения вероятностей зависимых событий.