- •Методические указания для студентов экономической специальности заочной и ускоренной форм обучения
- •Содержание
- •Часть 1. Программа курса
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
- •2. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •3. Функции нескольких переменных.
- •4. Интегральное исчисление.
- •5. Дифференциальные уравнения.
- •6. Ряды.
- •7. Теория вероятностей.
- •8. Рекомендуемая литература.
- •Часть 2. Методические указания по самостоятельной работе
- •1. Чтение учебника.
- •2. Решение задач.
- •3. Самопроверка.
- •4. Консультации.
- •5. Контрольные работы.
- •6. Лекции и практические занятия.
- •7. Зачеты и экзамены.
- •Часть 3. Требования к оформлению контрольной работы
- •Часть 4. Контрольные задания
- •1.1. Контрольная работа № 1. «Аналитическая геометрия и векторная алгебра».
- •1.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи на плоскости
- •Различные виды уравнения прямой на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •2. Элементы векторной алгебры.
- •3. Аналитическая геометрия в пространстве. Различные виды уравнения плоскости
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Взаимное расположение прямой с плоскостью
- •1.3. Образец решения контрольной работы № 1.
- •2.1. Контрольная работа № 2. «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление».
- •2.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Теория пределов Основные понятия
- •Основные теоремы о действиях над функциями, имеющими конечный предел
- •Важные исключения из теоремы
- •Замечательные пределы
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Основные правила дифференцирования
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Применение производной
- •3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Явное задание функции
- •Неявное задание функции
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремум функции двух переменных
- •2.3. Образец решения контрольной работы № 2.
- •3.1. Контрольная работа № 3. «Интегральное исчисление».
- •3.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2. Определенный интеграл
- •Приложения определенного интеграла в геометрии
- •3.3. Образец решения контрольной работы № 3.
- •4.1. Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».
- •4.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Ряды Числовые ряды Основные понятия
- •Положительные числовые ряды
- •Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
- •Функциональные ряды Основные понятия
- •4.3. Образец решения контрольной работы № 4.
- •5.1. Контрольная работа № 5. «Теория вероятностей».
- •5.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Случайные события
- •Операции над событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Аксиомы теории вероятностей
- •Свойства вероятности
- •2. Случайные величины Дискретные случайные величины
- •Законы распределения дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3. Образец решения контрольной работы № 5.
- •Список литературы
4.3. Образец решения контрольной работы № 4.
Задание 1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 0.
Решение. Общее решение будем искать методом Бернулли: , где , – две новые неизвестные функции, тогда . Подставляя в исходное уравнение, получаем или . Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда получим Найдем частное решение уравнения (I) при С1 = 0, которое является ДУ с разделяющимися переменными. Для этого в этом уравнении разделим переменные x и y: или . Проинтегрировав обе части, получим или (при С1= 0) или – частное решение уравнения (I). Подставляя полученную функцию v в уравнение (II), получаем тоже ДУ с разделяющимися переменными: , для которого найдем его общее решение. Разделяем переменные: или . Интегрируем обе части: или – общее решение уравнения . Таким образом – общее решение исходного уравнения.
Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальному условию y(0) = 0 подставим в найденное общее решение x = 0 и y = 0 и найдем постоянную С: или , т. е. С = –1. Таким образом, – частное решение исходного уравнения при y(0) = 0.
Ответ: – общее решение; – частное решение.
Задание 2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = y0 и
1) , y(0) = –1, ;
2) , y(0) = 1, ;
3) , y(0) = 2, .
Решение. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида будем искать в виде , где – общее решение соответствующего линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, а – некоторое частное решение исходного уравнения.
1) Найдем общее решение соответствующего линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами . Характеристическое уравнение имеет два равных корня , значит .
Найдем частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида , причем n = 1 и = 0 – не корень характеристического уравнения. Поэтому частное решение , где А и В – неопределенные коэффициенты. Тогда и . Подставив , , в исходное уравнение, получим –2А + Ax + B = x – 4 или Ax + (–2А + B) = x – 4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений Отсюда A = 1, B = –2. Поэтому частное решение исходного уравнения имеет вид . Следовательно, – общее решение исходного уравнения.
Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y(0) = –1, найдем . Подставим начальные условия в найденное общее решение и его производную, получим систему или Отсюда С1 = С2 = 1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид: .
2) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим характеристическое уравнение , дискриминант , имеет два комплексных корня , . Следовательно, .
Найдем частное решение исходного уравнения. Его правая часть есть формула вида , причем n = m = 0, = 0, = 3. Так как числа – не корни характеристического уравнения (r = 0), то частное решение имеет вид: , где А и В – неопределенные коэффициенты, . Найдем и . Подставив , , в исходное уравнение, получим или . Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе в обеих частях, получаем систему уравнений Отсюда A = 1, B = –3. Поэтому частное решение исходного уравнения имеет вид . Следовательно, – общее решение исходного уравнения.
Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y(0) = 1, вычислим . Подставляя начальные условия в найденное общее решение и его производную, получим систему или Следовательно, С1 = 0, С2 = 3. Таким образом, – искомое частное решение.
3) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет два различных корня и , значит .
Найдем частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида , причем n = 0, а = 1 – корень характеристического уравнения кратности 1 (r = 1). Поэтому частное решение , где А – неопределенный коэффициент. Тогда и . Подставим , , в исходное уравнение и получим . Сократив оби части равенства на и приведя подобные, получим . Поэтому частное решение исходного уравнения имеет вид . Следовательно, – общее решение исходного уравнения.
Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y(0) = 2, сначала найдем . Подставим начальные условия в найденное общее решение и его производную, получим систему или Отсюда С1 = С2 = 1. Итак, частное решение исходного уравнения имеет вид .
Ответ: 1) ; 2) ; 3) .
Задание 3. Написать три первых члена степенного ряда , найти его область абсолютной сходимости.
Решение. Запишем три первых члена ряда. При n = 1 получаем первый член ряда: , при n = 2 – второй член: и при n = 3 – третий член ряда: .
Для данного ряда имеем а = –2, , . Найдем радиус сходимости . Тогда интервал абсолютной сходимости ряда по формуле (a – R; a + R) есть (–4; 0).
Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. При x = –4 получаем числовой знакочередующийся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница, т. к. выполняются оба условия признака: 1) и 2) члены ряда убывают по абсолютной величине При x = 0 имеем числовой знакоположительный ряд . Это гармонический ряд, который расходится. Таким образом, область абсолютной сходимости исходного ряда имеет вид [–4; 0).
Ответ: , , ; [–4; 0).
Задание 4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.
Решение. Для разложения подынтегральной функции в степенной ряд воспользуемся формулой таблицы основных разложений. Заменив в ней x на x2, получим:
для любого . Так как отрезок интегрирования [0; 0,5] целиком содержится внутри области сходимости ряда, то на основании свойства о почленном интегрировании степенных рядов получим
Получили числовой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница: 1) члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине: и 2) предел его общего члена при равен нулю: . Так как |a2| = 0,000372 < 0,001, то приближенное значение суммы S полученного ряда будет равно: S S1 = a1, так как по следствию из признака Лейбница погрешность вычисления r2 = |S – S1| < |a2| < 0,001.
Таким образом, .
Ответ: 0,042.