3.1. Контрольная работа № 3. «Интегральное исчисление».
1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
1. 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
2. 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
3. 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
4. 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
5. 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
6. 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
7. 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
8. 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
9. 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
10. 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
2. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
10. 
.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Сделать чертеж.
1. 
,
. 2. 
,
.
3. 
,
. 4.
,
.
5.
,
. 6. 
,
.
7. 
,
. 8.
,
.
9.
,
. 10. 
,
.
4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками функций.
1. 
,
,
. 2. 
,
,
.
3.
,
,
. 4.
,
,
.
5.
,
,
. 6. 
,
,
.
7.
,
,
. 8. 
,
,
.
9. , , . 10. , , .
3.2. Основные теоретические сведения.
1. Неопределенный интеграл
1. Неопределенным
интегралом функции f(x)
называется множество всех ее первообразных
F(x) + C
и обозначается символом
,
где функция F(x)
называется первообразной функции f(x):
.
Основные свойства неопределенного интеграла
2.
. 3.
.
4. 
.
5.
.
6.
Если
,
то
.
Таблица интегралов
7.
.
8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
. 24.
.
25. Теорема
о замене переменной в неопределенном
интеграле: пусть требуется найти интеграл
от сложной функции вида
,
тогда если заменой
,
интеграл сводится к табличному
,
то справедлива формула
.
26. Формула
интегрирования по частям:
.
27. Некоторые интегралы, вычисляемые по частям:
1-я группа |
2-я группа |
||||
|
u = Pn(x) |
|
|
|
dv = Pn(x) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3-я
группа:
,
,
,
,
,
,
,
и др.
2. Определенный интеграл
1. Пусть
на отрезке [a; b]
задана функция f(x).
Произвольным образом разобьем отрезок
[a; b]
на n
частей точками
a = x0 <x1 < x2 < … <
< xk–1 < xk < … <xn = b.
Обозначим через xk = xk
– xk–1
– длину k-го
отрезка. На каждом отрезке [xk–1; xk]
возьмем произвольно точку k
и вычислим в ней значение функции f(k).
Найдем все произведения f(k)xk
и составим интегральную сумму
.
Если существует конечный предел
интегральной суммы при n → ,
не зависящий ни от способа разбиения
отрезка [a; b]
на части, ни от выбора точек k,
то этот предел называется определенным
интегралом от функции f(x)
на отрезке [a; b]
и обозначается символом
.
2. 
– формула Ньютона-Лейбница.
3. 
– формула интегрирования по частям.
4. Геометрический
смысл определенного интеграла: интеграл
численно равен площади криволинейной
трапеции, ограниченной слева и справа
прямыми
и
,
осью
и сверху графиком функции
(рис. 8).
Рис. 8 Рис. 9