- •Методические указания для студентов экономической специальности заочной и ускоренной форм обучения
- •Содержание
- •Часть 1. Программа курса
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
- •2. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •3. Функции нескольких переменных.
- •4. Интегральное исчисление.
- •5. Дифференциальные уравнения.
- •6. Ряды.
- •7. Теория вероятностей.
- •8. Рекомендуемая литература.
- •Часть 2. Методические указания по самостоятельной работе
- •1. Чтение учебника.
- •2. Решение задач.
- •3. Самопроверка.
- •4. Консультации.
- •5. Контрольные работы.
- •6. Лекции и практические занятия.
- •7. Зачеты и экзамены.
- •Часть 3. Требования к оформлению контрольной работы
- •Часть 4. Контрольные задания
- •1.1. Контрольная работа № 1. «Аналитическая геометрия и векторная алгебра».
- •1.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи на плоскости
- •Различные виды уравнения прямой на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •2. Элементы векторной алгебры.
- •3. Аналитическая геометрия в пространстве. Различные виды уравнения плоскости
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Взаимное расположение прямой с плоскостью
- •1.3. Образец решения контрольной работы № 1.
- •2.1. Контрольная работа № 2. «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление».
- •2.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Теория пределов Основные понятия
- •Основные теоремы о действиях над функциями, имеющими конечный предел
- •Важные исключения из теоремы
- •Замечательные пределы
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Основные правила дифференцирования
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Применение производной
- •3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Явное задание функции
- •Неявное задание функции
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремум функции двух переменных
- •2.3. Образец решения контрольной работы № 2.
- •3.1. Контрольная работа № 3. «Интегральное исчисление».
- •3.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2. Определенный интеграл
- •Приложения определенного интеграла в геометрии
- •3.3. Образец решения контрольной работы № 3.
- •4.1. Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».
- •4.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Ряды Числовые ряды Основные понятия
- •Положительные числовые ряды
- •Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
- •Функциональные ряды Основные понятия
- •4.3. Образец решения контрольной работы № 4.
- •5.1. Контрольная работа № 5. «Теория вероятностей».
- •5.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Случайные события
- •Операции над событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Аксиомы теории вероятностей
- •Свойства вероятности
- •2. Случайные величины Дискретные случайные величины
- •Законы распределения дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3. Образец решения контрольной работы № 5.
- •Список литературы
4.1. Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.
1. , . 2. , .
3. , y(0) = 5. 4. , y(–2) = 5.
5. , y(0) = 2. 6. , y(1) = e.
7. , y(3) = 1. 8. , y(0) = 2.
9. , y(1) = 0. 10. , y(0) = 3.
2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = y0 и
1. , y(0) = –2, .
2. , y(0) = 3, .
3. , y(0) = –3, .
4. , y(0) = –1, .
5. , y(0) = 1, .
6. , y(0) = 2, .
7. , y(0) = 2, .
8. , y(0) = 3, .
9. , y(0) = 0, .
10. , y(0) = 0, .
3. Написать три первых члена степенного ряда, найти его область абсолютной сходимости.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .
10. .
4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .
10. .
4.2. Основные теоретические сведения.
1. Дифференциальные уравнения
1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка, называется дифференциальным уравнением.
2. Натуральное число n, являющееся порядком старшей производной, называется порядком дифференциального уравнения.
3. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида или в дифференциалах . Если эти равенства можно разрешить относительно производной, то их записывают в виде или .
4. Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = (x), имеющая непрерывную производную на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.
5. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: требуется найти решение y = (x) уравнения, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0.
6. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = (x; С), содержащая произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях (x0; y0) уравнение y0 = (x0; С) должно быть разрешимо относительно С так, что С = (x0; y0); 2) при всех значениях постоянной С = (x0; y0) функция y = (x; (x0; y0)) должна удовлетворять дифференциальному уравнению.
7. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированном значении постоянной С называется частным решением дифференциального уравнения.
8. Уравнение вида или называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Приводятся к виду или путем разделения переменных x и y и затем почленно интегрируются.
9. Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением. Используется замена: или , где – новая неизвестная функция, тогда . Сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции, для которого находят общее решение. Записывают общее решение исходного уравнения по формуле .
10. Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением. Используется метод Бернулли: , где , – новые неизвестные функции, тогда . Получаем: или . Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда получаем Первое уравнение – ДУ с разделяющимися переменными, находим его частное решение при С = 0. Найденное частное решение подставляем во второе уравнение, являющееся тоже ДУ с разделяющимися переменными и находим его общее решение. Записываем общее решение исходного уравнения по формуле .
11. Уравнение вида , где называется дифференциальным уравнением Бернулли. Используется метод Бернулли: .
12. Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида . Если уравнение можно разрешить относительно , то его записывают в виде .
13. Решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = (x), имеющая непрерывные производные , на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.
14. Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка: требуется найти решение y = (x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = y0, при x = x0.
15. Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = (x; С1; С2), содержащая две произвольные постоянные С1, С2 и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях система уравнений должна быть разрешима относительно постоянных С1, С2 так, что 2) при всех значениях этих постоянных С1, С2 функция y = (x; C1; C2) обращает дифференциальное уравнение в верное числовое равенство.
16. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированных значениях постоянных С1, С2 называется частным решением дифференциального уравнения.
17. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка:
а) решается повторным интегрированием.
б) , явно не содержащее искомой функции . Используется замена: , где – новая неизвестная функция, тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.
в) , явно не содержащее независимой переменной . Замена: , где , тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.
18. Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида . Составляется характеристическое уравнение .
Если , то и общее решение исходного уравнения имеет вид: .
Если , то и .
Если , то и .
19. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида называется уравнение вида . Его общее решение ищется в виде , где – общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: , а – какое-либо частное решение исходного уравнения.
Если , где – некоторое число, Pn(x) – многочлен степени n, то , где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами, – число, равное кратности как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .
Если , где , – некоторые числа, Pn(x), Qm(x) – многочлены степени n и m соответственно, то , где – многочлены степени с неопределенными коэффициентами, , – число, равное кратности как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .