Іiі Завдання додому

1).Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

2) Знайти частинний розв’язок рівняння:

, у(0)=1

3) Знайти загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння:

4) Знайти частинний розв’язок лінійного диференціального рівняння:

, у(0) =

5) у (t) - об’єм продукції галузі, яка реалізована на час t.

Р (у) – ціна одиниці продукції. Дохід за час t складає . Швидкість випуску продукції (акселерація) пропорційна величині інвестицій: , де

I(t) – величина інвестицій складає частину доходів I(t) = mY (t) = mpy (t) (m – норма інвестицій, стала величина, 0 m 1). Тоді = m р у.

Знайти об’єм реалізованої продукції у = у(t), якщо Р (у) = 4 – у, норма акселерації 1/ = 4, норма інвестиції m = 0,5, у(0) = 1.

Відповіді:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. у = .

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 27

Тема: Розв’язування диференціальних рівнянь другого порядку

Мета: сформувати вміння та навики розв’язування диференціальних рівнянь

другого порядку.

ХІД ЗАНЯТТЯ

І Актуалізація опорних знань (фронтальне опитування)

1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

2. Однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

3. Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.

- лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Формули для загального розв’язку ЛОДР

1) Якщо k₁ k₂ (дійсні, різні числа) (дискримінант D>0), то

2) Якщо k₁=k₂ (дійсні, рівні числа)

(

D=0), то

3) Якщо k_{1, 2} = (комплексно - спряжені числа) (D<0), то

- лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Загальний розв’язок ЛНДР являє собою суму загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і довільного частинного розв’язку даного рівняння.

, де у₀ – загальний розв’язок відповідного ЛОДР,

у_* - частинний розв’язок ЛНДР.

Є рівняння із спеціальною правою частиною, для яких знайдені частинні розв’язки.

1) , де - многочлен (поліном) степеня n.

, де

- многочлен (поліном) степеня n з невідомими коефіцієнтами;

r знаходимо з умови:

1. r=0, якщо (k₁ і k₂ – корені характеристичного рівняння).

2. r=1, якщо k₁ =0 (або k₂ =0).

2) , де М і - сталі числа.

, де А – невідоме число;

r знаходимо з умови:

1. r = 0, якщо

2. r = 1, якщо (або )

3. r = 2, якщо

3) , де M і N – сталі числа.

, де А і В – невідомі числа;

r знаходимо з умови:

1. r = 0, якщо

2. r = 1, якщо

Іі Розв’язування вправ

1) Знайти загальний розв’язок неповних диференціальних рівнянь:

а) ,

б)

2) Знайти загальний розв’язок лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку:

а)

б)

3) Знайти частинний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку

, якщо ,

4) Знайти загальний розв’язок лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку:

а)

б)

в)