Ііі. Підведення підсумків заняття іv. Завдання додому

На скільки збільшиться площа круга радіуса 10см. при подовженні радіуса на 1мм. Обчислити точне і наближене значення. Знайти погрішність наближеного розрахунку.

Відповідь:

точне значення

наближене значення

абсолютна похибка

відносна похибка

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 15

Тема: Знаходження частинних похідних функцій багатьох змінних

Мета: сформувати вміння та навики знаходження частинних похідних функцій багатьох змінних.

ХІД ЗАНЯТТЯ

Означення похідної функції двох змінних :

Правила знаходження частинних похідних

1) Якщо знаходиться похідна по змінній х, то у є постійною величиною.

2) Якщо знаходиться похідна по змінній у, то х є постійною величиною.

І Розв’язування вправ

1) Знайти область визначення функції z = ln (y² – 4x + 8).

2) Знайти частинні похідні першого та другого порядку функції:

а) в)

б) г)

3) Рівняння лінійної парної регресії, яке часто використовується в кореляційно-регресійному аналізі економічних процесів, має вигляд . Коефіцієнти а і b знаходять за методом найменших квадратів: їх визначення з умови мінімальності функції двох змінних S (a,b) – суми квадратів відхилень фактичних значень у і від теоретичних

S (a,b) = ,

тобто

; ,

де n – обсяг вибірки даних.

Нехай у = (3, 5, 8, 11); х = (1, 2, 3, 4…)

Знайти рівняння лінійної парної регресії. Відзначимо, що для економетричних досліджень вибірка (n) повинна бути значно більша.

Відповідь: .

Іі Доповнення до лекції “Частинні похідні вищого порядку”

Z=f (х; у), (х; у)

та існують для даної функції.

похідні ІІ порядку

; - мішані частинні похідні ІІ порядку

Для функції двох змінних f (х; у) існують чотири похідні другого порядку; вісім похідних третього порядку...

Друга символіка похідних:

Якщо мішані похідні вищого порядку неперервні, то результат не залежить від порядку диференціювання:

,

Іiі Розв’язування вправ

Знайти для функції

Іv Завдання додому

Знайти область визначення функції:

1)

2)

3)

Знайти частинні похідні першого порядку функції:

4) ;

5) ;

6)

7)Знайти : ;

8) Знайти :

9) Знайти :

Відповіді:

1. частина площини всередині круга

2. – півплощина, яка знаходиться вище бісектриси у = х

3. Півплощина х 0

4. ,

5. ,

6. ,

7. 

8. 

9. 

Практичне заняття № 16

Тема: Похідна за напрямом. Градієнт

Мета: сформувати вміння та навички розв`язання вправ на похідну за напрямом та градієнт.

Хід заняття і. Розв`язування вправ

Нехай дано скалярне поле u=u (х; у; z).

Означення. Градієнтом функції u (х; у; z) називається вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції u.

g rad u (х; у; z) =

Напрям градієнта в кожній точці поля збігається з напрямом нормалі до поверхні рівня, що проходить через цю точку.

u =c

grad u

Похідна в напрямі градієнта має найбільше значення. При цьому поле в напрямі градієнта зростає з максимальною швидкістю, а у напрямі, протилежному до напряму градієнта, найшвидше спадає.

Максимальну швидкість зміни поля можна обчислити за формулою:

max =

u= grad u

Властивості градієнта:

1) grad (u+v)= grad u + grad v

2) grad (c ) = grad u

3) grad ( )= u grad v +v grad u

4) grad

Приклад: 1. Знайти grad u в точці М (-1; 2; -2), якщо u =

1. Знайти найбільшу швидкість зростання поля.

2. В якому напрямі функція u спадає найшвидше?

Приклад: 2. Знайти градієнт функції в довільній точці

Приклад: 3. Знайти похідну функції в точці за напрямом вектора