Необходимо выполнить различные операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел.

1. Рассмотрим суммирование комплексных чисел.

   1. ,

1.2.

,

1.3.

,

1.4.

,

1.5.

.

2. Рассмотрим операцию вычитания комплексных чисел.

2.1.

,

2.2.

,

2.3.

.

2.4.

,

2.5.

.

3. Рассмотрим операцию произведения комплексных чисел.

   1. Произведение можно определить:

      1. Показательная форма -

.

2. Алгебраическая форма -

.

2. Произведение можно определить:

   1. Показательная форма -

.

2. Алгебраическая форма -

.

3. Произведение можно определить:

   1. Показательная форма -

.

2. Алгебраическая форма -

4. Произведение можно определить:

3.4.1. Показательная форма -

.

3.4.2. Алгебраическая форма -

5. Произведение можно определить:

   1. Показательная форма -

.

2. Алгебраическая форма -

.

4. Рассмотрим операцию деления комплексных чисел.

   1. Отношение можно определить:

      1. Показательная форма -

.

2. Алгебраическая форма -

.

2. Отношение можно определить:

   1. Показательная форма -

2. Алгебраическая форма -

.

3. Отношение можно определить:

   1. Показательная форма -

.

2. Алгебраическая форма -

.

4. Отношение можно определить:

   1. Показательная форма -

.

2. Алгебраическая форма -

.

5. Отношение можно определить:

   1. Показательная форма -

.

2. Алгебраическая форма -

.

3.10.3. Основы символического метода

На рисунке 3.45 приведена цепь с последовательным соединением r, L, C, по которой протекает ток , равный .

Запишем второй закон Кирхгофа для мгновенных значений напряжений:

.

Выражение второго закона Кирхгофа для действующих значений справедливо в векторной форме и для комплексов напряжений имеет вид:

.

Сформируем комплексные векторы тока и напряжений , и .

1. Используя выражение мгновенного значения тока, сформируем комплекс действующего значения тока (либо комплекса амплитуды ):

.

2. Сформируем векторы падений напряжений на каждом элементе.

   1. Падение напряжения на резистивном элементе связано с током законом Ома в виде , а их вектора совпадают по направлению. Тогда

.

2. Комплекс падения напряжения на индуктивном элементе , связан с током законом Ома в виде , а вектор тока отстает от вектора напряжения на угол 90⁰, следовательно

.

3. Комплекс падения напряжения на емкостном элементе , связан с током законом Ома в виде , а вектор тока опережает вектор напряжения на угол 90⁰, следовательно

.

3. Принимая во внимание вышеизложенное, второй закон Кирхгофа в комплексной форме будет иметь вид:

.

Выражение в скобках называют комплексным сопротивлением:

,

где  – угол сдвига по фазе между током и напряжением на зажимах данной цепи.

Выражение называют законом Ома в комплексной форме.

Из вышеуказанного следует, что при формировании комплексного сопротивления , действительная часть представляет собой активное сопротивление , а мнимая часть – реактивное сопротивление . При этом сопротивления на индуктивности берутся с положительным знаком, а на емкости – с отрицательным.

Комплексное сопротивление , записанное в показательной форме, позволяет оценить полное сопротивление цепи и сдвиг по фазе между током и напряжением .

По аналогии с цепями постоянного тока, можно записать законы Кирхгофа в комплексной форме:

I закон Кирхгофа:

II закон Кирхгофа: .

Все методы расчета, которые ранее использовались для цепей постоянного тока, пригодны и для цепей синусоидального тока; но все расчеты должны выполняться в комплексной форме.