Свойства функции и её график
О.
Функция
вида:
,
где
называется линейной
функцией.
Свойства:
Область определения функции
,
т.к. значение выражения
однозначно определяется
(почему?).
Множество значений функции:
Если
,
то множество значений состоит из одного
числа b,
,
т.к. значение выражения
в этом случае равно
b.
Если
,
то множеством значений функции будет
множество
,
т.к.
.
Периодичность:
Теорема.
Если , то функция является периодической и её период – любое действительное число.
Если , то функция не является периодической.
Доказательство:
При утверждение верно, т.к. функция при всех значениях х принимает одно значение, равное b.
Пусть , предположим, что линейная функция имеет период
,
т.е.
,
т.к. по условию
,
значит предположение о том, что линейная
функция имеет период
,
не верно, и при
линейная функция не является периодической.
Чётность/нечётность
Если
,
то функция не является ни чётной, ни
нечётной, т.к.
,
а
и
Если
,
то функция имеет вид:
,
и
,
значит, функция является чётной.
Если
,
то функция имеет вид:
,
и
,
значит, функция является нечётной.
Точки пересечения графика с осями координат.
Точки
пересечения с осью
если
Точки
пересечения с осью
Тогда
если
Если
Если
Если
Промежутки знакопостоянства функции (промежутки, на которых функция сохраняет свой знак):
если , то , значит, функция не меняет своего знака на всей области определения: если
,
если
если
,
то
:
если
,
то
:
Промежутки монотонности (Интервалы возрастания/убывания функции)
Теорема.
Если , то функция - постоянное число (b=const),
Если то функция возрастает,
Если , то функция убывает.
Доказательство:
Возьмем
произвольные
такие, что
и рассмотрим разность:
если , то
-
функция постояннаесли , то
функция возрастаетесли , то
функция
убывает
Наибольшее/наименьшее значение функции
Функция не имеет наименьшего и наибольшего значения, т.к. её множеством значений является всё множество .
График функции
Графиком линейной функции является прямая (рис 1).
Свойства функции и её график
О.
Функция
вида
,
где
,
называется
обратной
пропорциональностью.
Свойства:
Область определения функции
Выражение
однозначно вычисляется
,
при
это выражение не определено (почему?),
значит
Множество значений функции
Уравнение
при всех значениях
имеет единственный корень, равный
Если
,
то уравнение корней не имеет, значит
Периодичность.
Теорема.
Функция не является периодической.
Доказательство:
Пусть
функция
является периодической с периодом
.
Это значит, что
.
Рассмотрим разность:
,
значит предположение о том, что функция обратная пропорциональность имеет период не верно, и функция обратная пропорциональность не является периодической.
Чётность/нечётность.
Функция
нечётная, т.к. область определения
является симметричной относительно
нуля и
Точки пересечения графика с осями координат.
Т.к.
уравнение
не имеет корней, то график функции
не имеет точек пересечения с осью
абсцисс.
Так
как
,
то график функции точек пересечения с
осью ординат не имеет.
Промежутки знакопостоянства функции.
При :
и
При : и
Интервалы возрастания/убывания функции.
Теорема.
Если
то функция убывает при
и при
Если , то функция возрастает при и при
Доказательство:
Пусть
,
тогда возьмем произвольные
,
пусть для определенности
,
тогда
,
то есть
,
значит функция убывает при
.
Теперь
возьмем произвольные
,
и так же для определенности пусть
,
тогда рассмотрим разность (почему?),
то есть , значит функция убывает при .
Аналогично
при
:
возьмем произвольные
,
пусть для определенности
,
тогда
,
то есть
,
значит функция возрастает при
.
Теперь возьмем произвольные , и так же для определенности пусть , тогда , то есть , значит функция возрастает при .
Замечание: Функция не является монотонной на всей своей области определения !!!!!!!
Действительно,
например,
,
если
,
то
,
что не верно, т.к. при
функция является убывающей и по
определению большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции.
Наибольшее/наименьшее значение функции.
Функция не имеет наибольшего и наименьшего значения, т.к. её
График функции.
График функции имеет две асимптоты – вертикальную и горизонтальную .
О
.
График функции называется гиперболой
и расположен в первой и третьей
координатных четвертях, если
;
и во второй и четвертой, если
.
(рис.2).