28. Решение уравнений вида

Теорема (о корне).

Пусть функция f – возрастает (или убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=а имеет единственный корень в промежутке I.

Функция синус возрастает на отрезке и принимает все значения от –1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что , в промежутке существует единственный корень b уравнения

. Это число b называют арксинусом числа а и обозначают .

О. Арксинусом числа а называется такое число из отрезка , синус которого равен а.

Так как для любого х, то при уравнение не имеет корней.

При на отрезке уравнение имеет в точности одно решение . На промежутке функция синус убывает и принимает все значения от –1 до 1. По теореме о корне уравнение имеет и на этом отрезке один корень. Из рис. 13 видно, что этот корень . Действительно, . Кроме того, поскольку , имеем и , т.е. число х₂ принадлежит отрезку .

Итак, уравнение на отрезке имеет два решения: и (совпадающие при а=1). Учитывая, что период синуса равен 2, получаем такие формулы для записи всех решений:

Удобно решения уравнения записывать не двумя, а одной формулой

.

При чётных получаем , т.е. находим все решения, записанные первой формулой. При нечётных получаем - все решения, записываемые второй формулой.

Р ешение уравнения можно проиллюстрировать на единичной окружности (рис. 13). По определению sin x – ордината точки единичной окружности. Если , то таких точек две; если же или , то одна.

Если , то числа и совпадают, поэтому решение уравнения принято записывать так: При и принята следующая запись решений: , если , , если .

29. Решение уравнений вида

Теорема (о корне).

Пусть функция f – возрастает (или убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=а имеет единственный корень в промежутке I.

Функция косинус убывает на отрезке и принимает все значения от –1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что , в промежутке существует единственный корень b уравнения . Это число b называют арккосинусом числа а и обозначают arcсos a.

О. Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка , косинус которого равен а.

Так как для любого х, то при уравнение не имеет корней.

При на отрезке уравнение имеет в точности одно решение . Косинус – чётная функция, и, значит, на отрезке уравнение также имеет в точности одно решение – число .

Итак, уравнение на отрезке длиной 2 имеет два решения

(совпадающие при а=1). Учитывая, что период косинуса равен 2, получаем такую формулу для записи всех решений

.

Решение уравнения можно проиллюстрировать на единичной окружности (рис. 14). По определению cos x – абсцисса точки единичной окружности. Если , то таких точек две; если же или , то одна.

При числа и совпадают (они равны нулю), поэтому решения уравнения принято записывать в виде .

Особая форма записи принята также для и : при , , при .