21. Формулы приведения.

Тригонометрические функции углов вида , , , могут быть выражены через функции угла с помощью формул, которые называются формулами приведения.

Формулы приведения предназначены для того, чтобы выражать значения тригонометрических функций произвольных углов через функции острого угла.

В се приводимые ниже формулы справедливы при произвольных значениях угла (естественно, входящих в область определения соответствующих функций), хотя применяются преимущественно в тех случаях, когда угол – острый.

Докажем сначала, что для любого

и

Для определённости предположим, что . Тогда для угла справедливо двойное неравенство . Рассмотрим радиусы и , образующие углы и с положительным направлением оси соответственно (рис. 17). Опустим из точек и перпендикуляры на ось . Полученные треугольники и равны, поскольку они прямоугольные, , имеют равные гипотенузы ( ) и равные острые углы: .

Из равенства треугольников следует, что и . Следовательно, , . Вторая формула получается с помощью аналогичных рассуждений.

Для тангенса и котангенса формулы приведения следуют из равенств

и .

Из формул , а также с учётом чётности и нечётности тригонометрических функций можно получить формулы

, , , .

Например, .

Формулы приведения для синуса и косинуса угла выглядят так:

и .

Для доказательства достаточно представить в виде и дважды воспользоваться формулами . Аналогичные формулы для тангенса и котангенса , можно получить с помощью формул приведения для синуса и косинуса.

Из формул (3) следует:

, , , . (20.4)

Для доказательства достаточно представить в виде суммы и применить формулы (20.3).

Формулы приведения для углов имеют вид

, , , .

Для доказательства этих формул надо представить и последовательно применить формулы (20.3) и (20.1).

Справедливы также формулы

, , , .

Перечисленные выше формулы могут быть обобщены одним правилом:

Любая тригонометрическая функция угла по абсолютной величине равна той же функции угла , если число n - чётное, и ко-функции этого же угла, если n – нечётное.

При этом если функция угла положительна, когда – острый положительный угол, то знаки обеих функций одинаковы; если отрицательна, то различны.

22. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Теорема (основное тригонометрическое тождество).

Для любого угла справедливо тождество .

Доказательство.

П усть дан некоторый угол . Тогда координаты конца радиуса тригонометрического круга, составляющего угол с положительным направлением оси , будут равны по определению , (рис.18). Так как квадрат расстояния между любыми двумя точками плоскости, заданными своими координатами, равен сумме квадратов разностей одноимённых координат, то квадрат расстояния от точки до точки (равный единице, поскольку - конец радиуса единичной длины) определяется равенством ,

откуда следует .

Между основными тригонометрическими функциями произвольного аргумента α имеются следующие соотношения.

1. Основное тригонометрическое тождество

.

Доказательство тождества приведено выше.

2. По определению тангенса и котангенса выполнено

, для , ;

, для , .

3. Перемножая последние два соотношения, получим

для , .

4. Разделив основное тригонометрическое тождество почленно на и и выполнив несложные преобразования, получим соответственно

для , .

Аналогично для , .