Формулы приведения.
Тригонометрические
функции углов вида
,
,
,
могут быть выражены через функции угла
с помощью формул, которые называются
формулами приведения.
Формулы приведения предназначены для того, чтобы выражать значения тригонометрических функций произвольных углов через функции острого угла.
В
се
приводимые ниже формулы справедливы
при произвольных значениях угла
(естественно, входящих в область
определения соответствующих функций),
хотя применяются преимущественно в
тех случаях, когда угол
– острый.
Докажем сначала, что для любого
и
Для
определённости предположим, что
.
Тогда для угла
справедливо двойное неравенство
.
Рассмотрим радиусы
и
,
образующие углы
и
с положительным направлением оси
соответственно (рис. 17). Опустим из точек
и
перпендикуляры на ось
.
Полученные треугольники
и
равны, поскольку они прямоугольные,
,
имеют равные гипотенузы (
)
и равные острые углы:
.
Из равенства
треугольников следует, что
и
.
Следовательно,
,
.
Вторая формула получается с помощью
аналогичных рассуждений.
Для тангенса и котангенса формулы приведения следуют из равенств
и
.
Из формул , а также с учётом чётности и нечётности тригонометрических функций можно получить формулы
, 
,
,
.
Например,
.
Формулы приведения
для синуса и косинуса угла
выглядят так:
и
.
Для доказательства
достаточно представить
в виде
и дважды воспользоваться формулами
.
Аналогичные формулы для тангенса и
котангенса
,
можно получить с помощью формул
приведения для синуса и косинуса.
Из формул (3) следует:
,
,
,
.
(20.4)
Для доказательства
достаточно представить
в виде суммы
и
применить формулы (20.3).
Формулы приведения
для углов
имеют вид
,
,
,
.
Для доказательства
этих формул надо представить
и последовательно применить формулы
(20.3) и (20.1).
Справедливы также формулы
,
,
,
.
Перечисленные выше формулы могут быть обобщены одним правилом:
Любая
тригонометрическая функция угла
по
абсолютной величине равна той же функции
угла
,
если число n -
чётное, и ко-функции этого же угла, если
n –
нечётное.
При этом если функция угла положительна, когда – острый положительный угол, то знаки обеих функций одинаковы; если отрицательна, то различны.
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
Теорема (основное тригонометрическое тождество).
Для любого
угла
справедливо тождество
.
Доказательство.
П
усть
дан некоторый угол
.
Тогда координаты конца радиуса
тригонометрического круга, составляющего
угол
с положительным направлением оси
,
будут равны по определению
,
(рис.18). Так как квадрат расстояния между
любыми двумя точками плоскости, заданными
своими координатами, равен сумме
квадратов разностей одноимённых
координат, то квадрат расстояния от
точки
до точки
(равный
единице, поскольку
- конец радиуса единичной длины)
определяется равенством
,
откуда
следует
.
Между основными тригонометрическими функциями произвольного аргумента α имеются следующие соотношения.
Основное тригонометрическое тождество
.
Доказательство тождества приведено выше.
По определению тангенса и котангенса выполнено
,
для
,
;
,
для
,
.
Перемножая последние два соотношения, получим
для
,
.
4.
Разделив основное тригонометрическое
тождество почленно на
и
и
выполнив несложные преобразования,
получим соответственно
для
,
.
Аналогично 
для
,
.