13. Логарифмическая функция и ее свойства.

О. Пусть . Функция, заданная формулой называется логарифмической функцией с основанием .

Свойства:

1. Область определения функции:

, по определению логарифма числа.

2. Множество значений функции:

3. Периодичность:

Функция не является периодической (почему?).

4. Чётность/нечётность

Поскольку , то есть область определения функции не симметрична относительно нуля, то есть если , то , значит, функция является функцией общего вида.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью : так как , то график функции не пересекает ось

Точки пересечения с осью , то есть

6. Промежутки знакопостоянства функции:

1. если , то при и при

2. если , то при и при

7. Интервалы возрастания/убывания

Если , то функция возрастает на всей области определения

Если , то функция убывает на всей области определения

Доказательство:

1. Рассмотрим случай .

Пусть - произвольные действительные числа, причем пусть для определенности . Докажем, что .

Предположим от противного, что , так как показательная функция при возрастает, то из неравенства следует, что , но , а , то есть получили, что , что противоречит условию, так как по условию .

2. Теперь рассмотрим случай .

Пусть - произвольные действительные числа, причем пусть для определенности . Докажем, что .

Предположим от противного, что , так как показательная функция при убывает, то из неравенства следует, что, , но , а , то есть получили, что , что противоречит условию, так как по условию .

8. Наибольшее/наименьшее значение функции

Функция не имеет наименьшего и наибольшего значения, т.к. её множеством значений является всё множество .

9. График функции. (рис 12).

14. Преобразование графиков функций

«Новая функция»	С пособ преобразования графика функции в «новую функцию»	Иллюстрация преобразования
	Параллельный перенос графика функции на единиц: влево, если в право, если
	Параллельный перенос графика функции на единиц: вверх, если вниз, если
	Симметрия относительно оси абсцисс
	Симметрия относительно оси ординат
	Если , то сжатие к точке (0;0) вдоль оси в раз; Если , то растяжение от точки (0;0) вдоль оси в раз
	Если , то растяжение от точки (0;0)вдоль оси ординат в раз Если , то сжатие к точке (0;0)вдоль оси ординат в раз
	Т у часть графика, которая расположена выше оси оставляем без изменений. А ту часть графика, которая расположена ниже оси отображаем симметрично относительно оси
	Т у часть графика, которая расположена правее оси оставляем без изменений. Ту часть графика, которая расположена левее оси убираем, а на её место отображаем правую часть графика, симметрично относительно оси