Некоторые допустимые решения волнового уравнения для одномерных колебаний натянутой струны.

(5.4.)

f(x) заменено на Ψ

(5.5.)

Ψ – функция декартовых координат х, у, z.

(5.6.)

заменяет выражение

		(5.7.)
				(5.8.)

(5.9.)

	(5.10.)
HΨ = EΨ		(5.11.)

Н – оператор Гамильтона, или Гамильтониан, определяющий операцию или последовательность операций, производимых над функцией Ψ.

УравнениеШредингера

1. Уравнение Шредингера описывает состояние микросисте­м (атомов, молекул, ионов и др.) с учетом корпускулярно-волнового дуализма.

2. Уравнение – постулат, но отражает объективную реаль­ность. Это закон природы. Решения, полученные на его основании (значения Е для заданных х, у, z), не противоречат эксперимен­тальным фактам.

3. Уравнение связывает энергию системы (электрона) с ее вол­новым движением. Энергия электрона зависит только от некото­рой волновой функции Ψ, которая характеризует его движение. Поскольку волновая функция полностью определяет состояние системы, любому набору координат частиц системы при заданном значении t соответствует только одно значение Ψ.

4. Решение уравнения Шредингера позволяет найти вид Ψ – функций, характеризующих возможные состояния микрочас­тиц в данных условиях, и соответствующие им значения энер­гии. Полученные данные позволяют составить некий образ систе­мы (атома).

Вероятность пребывания электрона в данной единице объема атома dV рав­на Ψ²dV и называется электрон­ной плотностью.

Вероятность найти частицу в любом элементе объема не должна обращаться в бесконечность.

(5.12.)

Решение уравнения Шредингера для простейших модельных систем

Частица в одномерной потенциальной яме. Частица свободно движется вдоль оси х в интервале от 0 до L и вне этого интервала находиться не может.

(5.13.)

Обозначим

	(5.14.)
		(5.15.)
Ψ(0) = A sin(0) Ψ(L) = A sin(πn)			(5.16.)
				(5.17.)

Требование Ψ(L) = 0 выполняется при kl = πn (n = 1, 2, 3…)

	(5.18.)
		(5.19.)
			(5.20.)

(5.21.)

	(5.22.)
	(5.23.)

Туннельный эффект

Схема туннельного эффекта.

.

Частица на окружности

(5.24.)

Решения либо coslφ, либо sinlφ, либо комбинация coslφ+sinlφ

(5.25.)

Ψ(φ) = Ψ(φ ± 2π) = Ψ(φ ± 4 π) =...

l - целые числа (положительные или отрицательные) или ноль: l= 0,±1,±2,±3,....

(5.26.)

где т - масса частицы

Решение уравнения Шредингера для атома водорода.

Сферическая полярная система координат

x = r sin θ cos φ, у = r sin θ sin φ, z = r cos θ

(6.1.)

Ψ = Ψ (r, θ, φ)

(6.2.)

Ψ (r, θ, φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ)	(6.3.)
			(6.4.)
			(6.5.)
			(6.6)
		(6.7.)

(6.8.)

Квантовое число l ограничено значениями 0, 1, 2, … (n - 1).

	(6.9.)
В = A sin 2πm + В cos 2πm		(6.10.)

Параметр m является аналогом магнитного квантового числа в модели Бора – Зоммерфельда.

при m = 0, ±1, ±2,…

(6.11.)