75. Оценка (по Колмогорову) совпадения эмпирического закона распределения с теоретическим

1. Вычисляем моменты m₁, m₂, m₃, … Число моментов равно числу неизвестных в теоретическом законе распределения.

2. Прежде всего, так как оценка касается непрерывного распределения, а мы имеем дело с дискретным распределением, снятым экспериментально, то надо решить, на сколько интервалов надо разбить при дискретизации и то, и другое распределение. Для этого рекомендуется пользоваться правилом Стерджеса, хорошо зарекомендовавшим себя на практике: K = 1 + log₂n = 1 + 3.322 · log₁₀n, где n — количество случайных значений (опытов), k — количество интервалов распределения.

3. Строится интегральный (см. рис. 34.5) закон для эмпирического распределения F(x) = P(x ≤ x_i).

   Рис. 34.5. Интегральный закон эмпирического распределения, дискретный вариант (пример)

4. В зависимости от числа экспериментов n и количества интервалов 1 ≤ i ≤ k можно посчитать число исходов в каждом из интервалов: N_i = P_i · n.

5. Далее следует рассчитать теоретическое распределение частоты: N_i^ТЕОР. = P_i · n. Если в качестве теоретического принять нормальный закон распределения, то можно сделать так:

где F — функция Лапласа, а параметры a и σ закона вычислены в п. 1.

6. Сравним полученные частоты: N_i^ТЕОР. и N_i во всех k интервалах (см. рис. 34.6) и выберем наибольшее отклонение экспериментального распределения от проверяемого теоретического:

Рис. 34.6. Сравнение теоретического и эмпирического интегральных распределений случайной величины (дискретный вариант)

7. Параметр Колмогорова λ характеризует отклонение теоретического распределения от экспериментального:

Далее, используя табл. 34.1 Колмогорова, следует принять или отвергнуть гипотезу о том, является ли эмпирическое распределение с заданной нами вероятностью Q теоретическим или нет. Для принятия гипотезы должно быть: λ < λ_табл..

Таблица 34.1. Таблица критерия Колмогорова

Q 0.85 0.90 0.95 0.99 λ 1.14 1.22 1.36 1.63

Примечание. Критерий Колмогорова не единственный возможный к применению при оценивании; можно использовать критерий Хи-квадрат, критерий Андерсона-Дарлинга и другие.