60. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p –> 0 (редкие события)).

Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:

где a = n · p — параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения

P_m = C_n^m · p^m · (1 – p)^n – m

может быть написан, если положить p = a/n, в виде

или

Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m, малые по сравнению с n. Произведение

весьма близко к единице. Это же относится к величине

Величина

очень близка к e^–a. Отсюда получаем формулу:

Пример. В ящике находится n = 100 деталей, как качественных, так и бракованных. Вероятность достать бракованное изделие составляет p = 0.01. Допустим, что мы вынимаем изделие, определяем, бракованное оно или нет, и кладем его обратно. Поступая таким образом, получилось, что из 100 изделий, которые мы перебрали, два оказались бракованными. Какова вероятность этого?

По биномиальному распределению получаем:

По распределению Пуассона получаем:

Как видно, величины получились близкими, поэтому в случае редких событий вполне допустимо применять закон Пуассона, тем более что он требует меньших вычислительных затрат.

Покажем графически вид закона Пуассона. Возьмем для примера параметры p = 0.05, n = 10. Тогда:

C₁₀⁰ = 1, C₁₀¹ = 10, C₁₀² = 45, C₁₀³ = 120, C₁₀⁴ = 210, C₁₀⁵ = 252, C₁₀⁶ = 210, C₁₀⁷ = 120, C₁₀⁸ = 45, C₁₀⁹ = 10, C₁₀¹⁰ = 1;

P₀ = 1 · 0.05⁰ · (1 – 0.05)^10 – 0 = 1 · 1 · 0.95¹⁰ = 0.5987…; P₁ = 10 · 0.05¹ · (1 – 0.05)^10 – 1 = 10 · 0.05¹ · 0.95⁹ = 0.3151…; P₂ = 45 · 0.05² · (1 – 0.05)^10 – 2 = 45 · 0.05² · 0.95⁸ = 0.0746…; P₃ = 120 · 0.05³ · (1 – 0.05)^10 – 3 = 120 · 0.05³ · 0.95⁷ = 0.0105…; P₄ = 210 · 0.05⁴ · (1 – 0.05)^10 – 4 = 210 · 0.05⁴ · 0.95⁶ = 0.00096…; P₅ = 252 · 0.05⁵ · (1 – 0.05)^10 – 5 = 252 · 0.05⁵ · 0.95⁵ = 0.00006…; P₆ = 210 · 0.05⁶ · (1 – 0.05)^10 – 6 = 210 · 0.05⁶ · 0.95⁴ = 0.0000…; P₇ = 120 · 0.05⁷ · (1 – 0.05)^10 – 7 = 120 · 0.05⁷ · 0.95³ = 0.0000…; P₈ = 45 · 0.05⁸ · (1 – 0.05)^10 – 8 = 45 · 0.05⁸ · 0.95² = 0.0000…; P₉ = 10 · 0.05⁹ · (1 – 0.05)^10 – 9 = 10 · 0.05⁹ · 0.95¹ = 0.0000…; P₁₀ = 1 · 0.05¹⁰ · (1 – 0.05)^10 – 10 = 1 · 0.05¹⁰ · 0.95⁰ = 0.0000…

Разумеется, P₀ + P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + P₅ + P₆ + P₇ + P₈ + P₉ + P₁₀ = 1.

Рис. 27.3. График распределения Пуассона при p = 0.05 и n = 10

При n –> ∞ распределение Пуассона переходит в нормальный закон, согласно центральной предельной теореме (см. лекцию 34. Фиксация и обработка статистических результатов).

28. Лекция 28. Поток случайных событий

В предыдущих лекциях мы научились имитировать наступление случайных событий. То есть мы можем разыграть — какое из возможных событий наступит и в каком количестве. Чтобы это определить, надо знать статистические характеристики появления событий, например, такой величиной может быть вероятность появления события, или распределение вероятностей разных событий, если типов этих событий бесконечно много.

Но часто еще важно знать, когда конкретно наступит то или иное событие во времени.

Когда событий много и они следуют друг за другом, то они образуют поток. Заметим, что события при этом должны быть однородными, то есть похожими чем-то друг на друга. Например, появление водителей на АЗС, желающих заправить свой автомобиль. То есть, однородные события образуют некий ряд. При этом считается, что статистическая характеристика этого явления (интенсивность потока событий) задана. Интенсивность потока событий указывает, сколько в среднем происходит таких событий за единицу времени. Но когда именно произойдет каждое конкретное событие надо определить методами моделирования. Важно, что, когда мы сгенерируем, например, за 200 часов 1000 событий, их количество будет равно примерно величине средней интенсивности появления событий 1000/200 = 5 событий в час, что является статистической величиной, характеризующей этот поток в целом.

Интенсивность потока в некотором смысле является математическим ожиданием количества событий в единицу времени. Но реально может так оказаться, что в один час появится 4 события, в другой — 6, хотя в среднем получается 5 событий в час, поэтому одной величины для характеристики потока недостаточно. Второй величиной, характеризующей насколько велик разброс событий относительно математического ожидания, является, как и ранее, дисперсия. Собственно именно эта величина определяет случайность появления события, слабую предсказуемость момента его появления. Про эту величину мы расскажем в следующей лекции.

Итак.

Поток событий — это последовательность однородных событий, наступающих одно за другим в случайные промежутки времени. На оси времени эти события выглядят как показано на рис. 28.1.

Рис. 28.1. Поток случайных событий

τj — интервал между событиями (случайная величина); tсi — момент совершения i-го события (отсчитывается от t = 0); Tн — время наблюдения.

Примером потока событий могут служить последовательность моментов касания взлетной полосы самолетами, прилетающими в аэропорт.

Интенсивность потока λ — это среднее число событий в единицу времени. Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле: λ = N/T_н, где N — число событий, произошедших за время наблюдения T_н.

Если интервал между событиями τ_j равен константе или определен какой-либо формулой в виде: t_j = f(t_j – 1), то поток называется детерминированным. Иначе поток называется случайным.

Случайные потоки бывают:

• ординарные: вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю;

• стационарные: частота появления событий λ(t) = const(t);

• без последействия: вероятность появления случайного события не зависит от момента совершения предыдущих событий.