Скачиваний:
92
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
1.06 Mб
Скачать

Лексикографический выбор

Сх(х) можно рассматривать как выбор по отношению к R\:

Выразим условие xRXy через переменные Ui и Vi:

Это соотношение может быть переписано в виде:

Мажоритарный выбор

С(х)порождается отношением R, которое с использованием булевых переменных можно представить в виде:

Оценку варианта решения х, по критерию φi, i = 1, ..., k будем называть аij = φji). Будем называть матрицу А матрицей оценок; строку матрицы аi=(аi1i2,..., аin) — векторной оценкой варианта xi. Назовем точку х G полуэффективным (слабооптимальным по Парето) решением многокритериальной задачи, если у G, φ(у) > φ(х), эффективным (оптимальным по Парето) решением многокритериальной задачи, если y G, φ(у) φ(х).

Идеальным решением многокритериальной задачи, если y G, φ(х) φ(у).

В зависимости от постановки задачи, элементы матрицы парных сравне­ний aij и аji должны удовлетворять определенным соотношениям нормиров­ки. Если варианты равноценны, будем обозначать их хi ~ хj (а также если ва­рианты несравнимы). Если хi xj то должно выполняться условие аij > аji.

Рассмотрим возможные варианты нормировки.

1. Простая нормировка

2. Турнирная нормировка

аij число очков, C=const число игр.

3. Кососгшметрическая нормировка

4. Вероятностная нормировка

Сигнатурная нормировка

Как отмечалось выше, Парето-оптимальное решение в многокритериаль­ной задаче выбора принимается в соответствии с правилом:

или в эквивалентной записи:

Другой вид критерия выбора — выбор по взвешенному критерию, учи­тывающий вес Wi оценок φi, i = 1, ..., к, когда решения принимаются по пра­вилу:

где (w,x) — скалярное произведение:

Функция выбора в этом случае определяется вариантами с максимальной взвешенной суммой критериев.

Пример. Примем, что число критериев не равно числу возможных вари­антов. Рассмотрим в качестве примера три варианта выбора места работы (размещения средств, инвестиций, приобретения ценных бумаг). Предполо­жим, что они различаются по критериям (рис. 4.5):

Рис.4.5. Матрицы критериев

Сформулируем матрицы Ск, к = 1, 2, 3, 4 попарного сравнения вариантов по критерию φк(х). В этой матрице элемент Сijk, ij=l, 2, 3 принимает значе­ние + 1, если по критерию φк(х) вариант хi предпочтительнее варианта хj. Вы­полним нормировку критериев таким образом, чтобы выполнялось условие:

где к — номер критерия, i,j — номер варианта.

Тогда для нашего примера мы получим следующие четыре матрицы:

Рис.4.6. Матрицы предпочтительности вариантов

В трехзначной логике Лукасевича справедливы следующие таблицы ис­тинности основных функций алгебры логики.

Рис 4.7. Таблица истинности логических функций

в трехзначной логике Лукасевича

В таблице обозначено:

Рассмотрим выбор по к критериям φi, i=l,... ,k и обозначим Wi — отно­шение слабого порядка, отвечающее критерию φi.

Отношение слабого порядка R является интранзитивным, антисиммет­ричным и антирефлексивным.

Зафиксируем некоторую пару (х,у) и введем булевы переменныеUi, Vi (i = 1, ..., к), причем Ui = 1 = (х,у) Wi, Wi — отношения слабого по­рядка.

Запишем критерий выбора по Парето с использованием булевых функ­ций:

Отсюда следует:

Примеры функций выбора

1. Скалярный оптимизационный механизм — выбор лучшего по задан­ному скалярному критерию качества φ(х) варианта х Х:

2. Условно-экстремальный механизм — выбор, определяемый схемой ма­тематического программирования с целевой функцией fo(x) и функционалами ограничений fi(x), i = 1,..., m:

3. Оптимизационный механизм доминирования, определяемый бинарнымотношением R:

4. Механизм блокировки: выбор неулучшаемых по R элементов х:

5. Механизм ограничений, определяемый бинарным отношением R и заданным элементом u G выбора элементов х X, лучших по R фиксированного элемента u G.

С использованием матриц Ck, (к = 1, 2, 3, 4) и учитывая таблицу истинности логических функций в трехзначной логике, сформулируем отношение для парето-оптимальных решений в виде логической функции следующего вида. Rπ(xi,xj)= или эквивалентно R я (xi, хj)= = R я 1(xi, хj)(R я 2(xi, хj))

Если мы примем в качестве критерия R я = R я 1 R я 2, где R я 2 — условие

, a R я 1— логическое произведение матриц (Ск)*:

Таким образом, в данном случае парето-оптимальное решение составит множество пар элементов множества решений (х1, х4), (х3, x1), (х3, х2), (х3, х4), (х1, х2), т.е. тех пар множества решений, для которых соответствующие эле­менты матрицы R я равны 1. В виде графа это отношение можно представить следующим образом (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Граф оптимальных

вариантов

Матрица R я 1 имеет единицы только в том случае, если для данной пары xi ни по одному из критериев не уступает хj. R я 2, как мы видели, содержит элемент rij2 = 1 в том и только в том случае, ко­гда вариант хi превосходит вариант хj хотя бы по одному из критериев. Что означает фактически операция *? В результате выполнения операции у = z* над переменной z, у принимает значение 1, когда переменная z принимает значе­ние 0 или 1, т.е. неотрицательное. С другой стороны, неотрицательность величины z есть следствие того, что либо вариант хi превосходит вариант хj по данному критерию, либо равноценен ему (во всяком случае, не усту­пает). Что же мы получим в результате логического и поэлементного ум­ножения матриц Сij*? Каждый элемент результирующей матрицы в нашем случае:

Эта операция гарантирует нам, что единицы будут стоять в результи­рующей матрице только для равноценных вариантов или тех вариантов, ко­торые или превосходят вариант хj по каждому из критериев, или, по крайней мере, не уступают им.

Так из матрицы

следует, что для пар (х1, х4), (х3, x1), (х3, х2), (х3, х4) первый элемент пары не ус­тупает второму ни по одному из критериев.

Дизъюнкция матриц обеспечивает, если в ней имеются

единицы, что хотя бы по одному из критериев вариант хi превосходит вари­ант хj. Тогда конъюнкция R я 1и R я 2означает, что вариант, имеющий 1 в ре­зультирующей матрице R я по одному из критериев, не уступает и хотя бы по одному превосходит другой элемент пары.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Романов В.П. Интеллектуальные информационные системы в экономике