Лексикографический выбор

Сх(х) можно рассматривать как выбор по отношению к R\:

Выразим условие xRXy через переменные U_i и V_i:

Это соотношение может быть переписано в виде:

Мажоритарный выбор

С(х)порождается отношением R, которое с использованием булевых переменных можно представить в виде:

Оценку варианта решения х, по критерию φ_i, i = 1, ..., k будем называть а_ij = φ_j/х_i). Будем называть матрицу А матрицей оценок; строку матрицы а_i=(а_i1,а_i2,..., а_in) — векторной оценкой варианта x_i. Назовем точку х G полуэффективным (слабооптимальным по Парето) решением многокритериальной задачи, если у G, φ(у) > φ(х), эффективным (оптимальным по Парето) решением многокритериальной задачи, если y G, φ(у) φ(х).

Идеальным решением многокритериальной задачи, если y G, φ(х) φ(у).

В зависимости от постановки задачи, элементы матрицы парных сравне­ний a_ij и а_ji должны удовлетворять определенным соотношениям нормиров­ки. Если варианты равноценны, будем обозначать их х_i ~ х_j (а также если ва­рианты несравнимы). Если х_i x_j то должно выполняться условие а_ij > аji.

Рассмотрим возможные варианты нормировки.

1. Простая нормировка

2. Турнирная нормировка

а_ij — число очков, C=const — число игр.

3. Кососгшметрическая нормировка

4. Вероятностная нормировка

Сигнатурная нормировка

Как отмечалось выше, Парето-оптимальное решение в многокритериаль­ной задаче выбора принимается в соответствии с правилом:

или в эквивалентной записи:

Другой вид критерия выбора — выбор по взвешенному критерию, учи­тывающий вес W_i оценок φ_i, i = 1, ..., к, когда решения принимаются по пра­вилу:

где (w,x) — скалярное произведение:

Функция выбора в этом случае определяется вариантами с максимальной взвешенной суммой критериев.

Пример. Примем, что число критериев не равно числу возможных вари­антов. Рассмотрим в качестве примера три варианта выбора места работы (размещения средств, инвестиций, приобретения ценных бумаг). Предполо­жим, что они различаются по критериям (рис. 4.5):

Рис.4.5. Матрицы критериев

Сформулируем матрицы С^к, к = 1, 2, 3, 4 попарного сравнения вариантов по критерию φ_к(х). В этой матрице элемент С_ij^k, ij=l, 2, 3 принимает значе­ние + 1, если по критерию φ_к(х) вариант х_i предпочтительнее варианта х_j. Вы­полним нормировку критериев таким образом, чтобы выполнялось условие:

где к — номер критерия, i,j — номер варианта.

Тогда для нашего примера мы получим следующие четыре матрицы:

Рис.4.6. Матрицы предпочтительности вариантов

В трехзначной логике Лукасевича справедливы следующие таблицы ис­тинности основных функций алгебры логики.

Рис 4.7. Таблица истинности логических функций

в трехзначной логике Лукасевича

В таблице обозначено:

Рассмотрим выбор по к критериям φ_i, i=l,... ,k и обозначим W_i — отно­шение слабого порядка, отвечающее критерию φ_i.

Отношение слабого порядка R является интранзитивным, антисиммет­ричным и антирефлексивным.

Зафиксируем некоторую пару (х,у) и введем булевы переменныеU_i, V_i (i = 1, ..., к), причем U_i = 1 = (х,у) W_i, W_i — отношения слабого по­рядка.

Запишем критерий выбора по Парето с использованием булевых функ­ций:

Отсюда следует:

Примеры функций выбора

1. Скалярный оптимизационный механизм — выбор лучшего по задан­ному скалярному критерию качества φ(х) варианта х Х:

2. Условно-экстремальный механизм — выбор, определяемый схемой ма­тематического программирования с целевой функцией f_o(x) и функционалами ограничений f_i(x), i = 1,..., m:

3. Оптимизационный механизм доминирования, определяемый бинарнымотношением R:

4. Механизм блокировки: выбор неулучшаемых по R элементов х:

5. Механизм ограничений, определяемый бинарным отношением R и заданным элементом u G выбора элементов х X, лучших по R фиксированного элемента u G.

С использованием матриц C_k, (к = 1, 2, 3, 4) и учитывая таблицу истинности логических функций в трехзначной логике, сформулируем отношение для парето-оптимальных решений в виде логической функции следующего вида. R_π(x_i,x_j)= или эквивалентно R _я (x_i, х_j)= = R _я ¹(x_i, х_j)(R _я ²(x_i, х_j))

Если мы примем в качестве критерия R _я = R _я ¹ R _я ², где R _я ² — условие

, a R _я ¹— логическое произведение матриц (С^к)*:

Таким образом, в данном случае парето-оптимальное решение составит множество пар элементов множества решений (х_1, х₄), (х₃, x₁), (х₃, х₂), (х₃, х₄), (х_1, х₂), т.е. тех пар множества решений, для которых соответствующие эле­менты матрицы R _я равны 1. В виде графа это отношение можно представить следующим образом (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Граф оптимальных

вариантов

Матрица R _я ¹ имеет единицы только в том случае, если для данной пары x_i ни по одному из критериев не уступает х_j. R _я ², как мы видели, содержит элемент r_ij² = 1 в том и только в том случае, ко­гда вариант х_i превосходит вариант х_j хотя бы по одному из критериев. Что означает фактически операция *? В результате выполнения операции у = z* над переменной z, у принимает значение 1, когда переменная z принимает значе­ние 0 или 1, т.е. неотрицательное. С другой стороны, неотрицательность величины z есть следствие того, что либо вариант х_i превосходит вариант х_j по данному критерию, либо равноценен ему (во всяком случае, не усту­пает). Что же мы получим в результате логического и поэлементного ум­ножения матриц С_ij*? Каждый элемент результирующей матрицы в нашем случае:

Эта операция гарантирует нам, что единицы будут стоять в результи­рующей матрице только для равноценных вариантов или тех вариантов, ко­торые или превосходят вариант х_j по каждому из критериев, или, по крайней мере, не уступают им.

Так из матрицы

следует, что для пар (х_1, х₄), (х₃, x₁), (х₃, х₂), (х₃, х₄) первый элемент пары не ус­тупает второму ни по одному из критериев.

Дизъюнкция матриц обеспечивает, если в ней имеются

единицы, что хотя бы по одному из критериев вариант х_i превосходит вари­ант х_j. Тогда конъюнкция R _я ¹и R _я ²означает, что вариант, имеющий 1 в ре­зультирующей матрице R _я по одному из критериев, не уступает и хотя бы по одному превосходит другой элемент пары.