Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
TJ-konspekt-lektsiy.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
17.11.2019
Размер:
479.05 Кб
Скачать

5. Розподіл Пуассона ( закон розподілу рідкісних подій)

Закон Пуассона описує кількість подій m, які відбуваються через однакові проміжки часу за умови, що події відбуваються незалежно одна від одної з постійною середньою інтенсивністю. При цьому загальна кількість подій є великою, а ймовірність появи події в одному випробуванні – постійною і малою.

λ – параметр закону Пуассона. Розподіл Пуассона мають кількість частинок, яку випромінює радіоактивне джерело за певний проміжок часу, кількість вимагань на виплату страхових сум, кількість відмов елементів при випробуванні на надійність складних радіоелектронних приладів і т. п.

Приклад

В партії з 5 виробів є 3 дефектних. Випадково відбираємо 3 деталі. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – кількості стандартних деталей серед відібраних.

Розв’язування. Випадкова величина може набути значень 0, 1, 2 з ймовірностями

Р {X=0} =

Р {X=1} =

Р {X= 2} =

Маємо гіпергеометричний розподіл випадкової величини

Х

0

1

2

Р

0,1

0,6

0,3

Домашнє завдання

  1. В ремонтну майстерню за день поступає не більше двох заявок на ремонт обладнання. За 100 спостережень дві заявки поступили 35-разів, одна заявка – 45 разів, ні одної не поступило -20 разів. Складіть закон розподілу числа заявок в день.

  2. У партії з 30 деталей є 27 стандартних. Навмання відібрані 2 деталі. Скласти закон розподілу кількості нестандартних деталей серед відібраних.

  3. У партії 5% нестандартних деталей. Випадково відібрані 3 деталі. Скласти закон розподілу випадкової величини X – кількості стандартних деталей серед 3 відібраних.

  4. Ймовірність того, що студент знайде у бібліотеці потрібну йому книжку дорівнює 0,45. Скласти закон розподілу кількості бібліотек, які він відвідає, якщо у місті є п’ять бібліотек.

  5. Підкидають гральний кубик до появи числа 5. Скласти закон розподілу випадкової величини X - кількості підкидань.

  6. Скласти закон розподілу квадратів числа очок при одному підкиданні грального кубика.

Лекція 6 Неперервні випадкові величини та їх розподіли

Означення Випадкова величина Х називається неперервною, якщо неперервною є її інтегральна функція

Означення Щільністю розподілу (диференціальною функцією) випадкової величини в даній точці називається границя відношення ймовірності того, що випадкова величина належатиме інтервалу, який містить дану точку, до довжини цього інтервалу за умови, що інтервал стягується до даної точки, тобто

.

Властивості f (x)

  1. f (x ) = F′ (x).

Справді,

  1. f ( x ) ≥ 0 ( оскільки f (x ) = F′ (x), F ( x ) - неспадна ).

  2. Р ( х1 ≤ Х < х2 ) =

Справді, Р ( х1 ≤ Х < х2 ) = F (x2) - F ( x1 ) = .

  1. F (x ) =

Справді, F ( x ) = P ( X < x ) = P ( -

  1. . Справді, 1 = Р (

Означення Випадкова величина Х називається рівномірно розподіленою, якщо її щільність стала.

1. Нехай значення рівномірно розподіленої випадкової величини зосереджені на [ a, b ]. Користуючись властивостями щільності розподілу, маємо , тобто .

Звідси с = 1 / (b – a). Отже, щільність розподілу має вигляд

2. Інтегральна функція розподілу має вигляд

Рівномірний розподіл часто використовують тоді, коли тільки відомо, що величина набуває значень на певному інтервалі, але нічого не відомо про характер розподілу величини. Вважаючи, що вона розподілена рівномірно, допускаємо похибку, найменшу з можливих.

Означення Випадкова величина Х називається розподіленою за експоненціальним законом, якщо щільність розподілу має вигляд

Інтегральна функція розподілу має вигляд

Ймовірність того, що величина Х належатиме інтервалу [α ,β] за умов даного розподілу, дорівнює

P ( α ≤ x ≤ β ) =

Експоненціальний закон широко застосовують у теорії надійності.

Нехай Т - тривалість безвідказної роботи пристрою. Функція розподілу випадкової величини Т виражає ймовірність відказу за час t:

.

Протилежна їй функція надійності

R ( t ) = 1 - F ( t) = P ( t ≤ T ) = e -λt

визначає ймовірність безвідказної роботи пристрою за час t.

Тут λ – інтенсивність відказів.

Означення Випадкова величина Х називається розподіленою за нормальним законом з параметрами a і σ > 0, якщо її щільність має вигляд

Якщо Х має нормальний розподіл, то будемо коротко позначати це, як

Х  N ( α ,σ ).

Знайдемо вираз функції розподілу для Х  N (α ,σ ).

F (x ) = = . Зробимо заміну 

у = (z- α)/σ, тоді dy = і далі

F (x ) = = Ф( ), де

Ф( ) – функція Лапласа з аргументом , таблиця якої відома.

Ймовірність того, що випадкова величина Х – N (α ,σ ) набуде значення, яке належить інтервалу (х1, х2), дорівнює

P{x1

Ймовірність того, що Х  N ( a ,σ ) набуде значення, які відповідають умові

P{

З цієї формули виходить дуже важливий наслідок 

якщо Е =3σ , то P{ <3σ} =2Ф(3) = 0,9973

Це означає, що практично все розсіяння нормально розподіленої випадкової величини вкладається в інтервал α ±3σ (правило трьох сигм). Ймовірність того, що Х набуде значень за межами цього інтервалу, настільки мала (0, 0027),що таку подію можна вважати практично неможливою.

Нормальний закон розподілу зустрічається найчастіше. За цим законом розподілені точність вимірювання практично всіх фізичних величин, параметри технологічних режимів, багато біологічних, демографічних та економічних покажчиків і т.д. Аналіз загальних умов формування нормального розподілу показує, що найважливішим фактором є формування величини як суми великої кількості взаємно незалежних складників, жоден з яких не має набагато більшої, ніж інші, дисперсії. Такі умови часто мають місце у виробничих, економічних, демографічних та інших процесах. Як буде показано далі, нормальний закон є граничним законом, до якого наближаються інші види розподілу.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]